Sigma-Operator

Beschreibung

Der Sigma-Operator ist der Operator, der genutzt wid um ein beliebiges Mengensystem in eine Sigma-Algebra zu verwandeln.

Definition

Für ein beliebiges Mengensystem $\mathcal{M}$ der Potenzmenge $P(\Omega )$ ist der $\sigma$-Operator definiert als $\sigma (\mathcal{M})={\bigcap }_{\mathcal{A}\in \mathcal{F}(\mathcal{M})}\mathcal{A}$ wobei $\mathcal{F}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\subseteq P(\Omega ):\mathcal{M}\subseteq \mathcal{A},\mathcal{A}\text{ σ-Algebra}\}$

Wie man sehen kann ist der Operator der Schnitt aller $\sigma$-Algebren, die $\mathcal{M}$ enthalten. Man sagt zu dem Ergebnis $\sigma (\mathcal{M})$ auch erzeugte $\sigma$-Algebra und nennt das Mengensystem $M$ den Erzeuger

Eigenschaften

Hüllenoperator

Der $\sigma$-Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators )(wie z.B. die Konvexe Hülle).

• $\mathcal{M}\subseteq \sigma (\mathcal{M})$
• $\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}⟹\sigma (\mathcal{M})\subseteq \sigma (\mathcal{N})$
• ${\sigma }^2(M)=\sigma (M)$