Dynkin System

Beschreibung

Ein Dynkin-System ist eine Abschwächung einer Sigma-Algebra.

Definition

Sei $\Omega$ eine Menge, $\mathcal{D}\subseteq P(\Omega )$ heißt ei Dynkin-System über $\Omega$, falls

1. $\varnothing \in \mathcal{D}$
2. $A\in \mathcal{D}⟹A^c\in \mathcal{D}$
3. $A_n$ disjunkt $⟹\bigcup A_n\in \mathcal{D}$

Eigenschaften

Dynkin-Lemma

Sei $\Omega \ne \varnothing ,M\subseteq P(\Omega )$ sei $\cup$-stabil und $\mathcal{D}\subset P(\Omega )$ ein Dynkin-System über $\Omega$. Dann gilt $M\subseteq \mathcal{D}⟹{\sigma }_{\Omega }(M)\subseteq \mathcal{D}$

Beispiel

Dynkin-System aus unabhängigen Ereignissen

Siehe Unabhängiges Mengensystem Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $B\in \mathcal{A}$, dann gilt: ${\mathcal{D}}_B:=\{A\in \mathcal{A}:(A,B)\text{ sind unabha¨ngig bzgl.}P\}$ ist ein Dynkin-System