Mu-Integral

Beschreibung

Definition

Für $f:\Omega \to [0,\infty ]$ messbar, definiere: ${\int }_{\Omega }fd\mu :=\sup \text{ges}{\sum }_{k=1}^n{\alpha }_k\mu (A_k):n\in \mathbb{N},\forall k:A_k\in \mathcal{A}\text{ und }{\alpha }_k\in [0,\infty ]:{\sum }_{k=1}^n{\alpha }_k{1}_{A_k}\le f$

Charakterisierende Eigenschaften

Gilt

• Verträglickeit m. Treppenfunktion: $\forall n\in \mathbb{N},k\in [n],(A_k{)}_{k=1,...,n}\in {\mathcal{A}}^n,({\alpha }_n{)}_{k=1,...,n}\in [0,\infty {]}^n$ ${\int }_{\Omega }\text{klam}{\sum }_{k=1}^n{1}_{A_k}d\mu ={\sum }_{k=1}^n{\alpha }_n\mu (A_n)$
• Monotone Konvergenz: Für alle Folgen $f_n$ von $\mathcal{A}-B_{\hat{\mathbb{R}}}$-messbare punktweise monoton steigende Funktionen, die Punktweise gegen $f$ konvergieren, dann gilt: ${\int }_{\Omega }fd\mu ={\int }_{\Omega }{\lim }_{n\to \infty }{f}_{n}d\mu ={\lim }_{n\to \infty }{\int }_{\Omega }{f}_{n}d\mu$
• Linearität: Für alle $f,g:\Omega \to [0,\infty ]$ messbar, $\alpha ,\beta \in [0,\infty ]$ gilt: ${\int }_{\Omega }(\alpha f+\beta g)d\mu =\alpha {\int }_{\Omega }fd\mu +\beta {\int }_{\Omega }gd\mu$
• Monotonie: Für messbare $f,g$, $f\le g$ gilt ${\int }_{\Omega }fd\mu \le {\int }_{\Omega }gd\mu$
• Verträglichkeit mit Riemann-Integral: Für $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_0^{+}$ stückweise stetig it das Lebeusgue Integral gleich dem Riemann Integral.
• Nullmengen: für $f,g:\Omega \to [0,\infty ]$ $\mu$-fast überall gleich, dann gilt ${\int }_{\Omega }fd\mu ={\int }_{\Omega }gd\mu$

}[1]{#1 ^{-1}}$

$\text{DeclareMathOperator}\text{Diff}Diff$