Trisektionsdiagramm

Beschreibung

Das Trisektionsdiagramm ist eine Verallgemeinerung des Heegaard-Diagramm. Es beschreibt eine Trisektion (4D-Mannigfaltigkeit).

Definition

Sei $g,k_1,k_2,k_3$ eine Trisektion (4D-Mannigfaltigkeit) einer $4$-Mannigfaltigkeit $M$ und $\Sigma$ die Trisektionsfläche. Ein Schnittsystem einer [[Gesc]] von Genus $g$ ist ein Tupel $\alpha =({\alpha }_1,...,{\alpha }_g)$ von paarweise disjunkten $g$ einfachen geschlossenen Kurven, sodass $\Sigma -{\bigcup }_{i=1}^g{\alpha }_i$ eine Sphäre mit $2g$ Bohrungen ist.

Ein Schnittsystem einn Tupel von paarweise disjunkten Kreisscheiben, deren Ränder zu Schnittsystemen von $\partial H$ werden. Jeder Henkelkörper besitzt ein Schnittsystem (Schneide einfach alle $1$-Henkel auf).

Betrachte nun die drei Hen$X_2\cap X_3$. Diese besitzen Schnittsysteme, durch die sie sich zu Bällen umwandeln lassen. Diese induzieren drei Schnittsysteme $\alpha ,\beta ,\gamma$, bestehend aus $3g$ Kurven auf $\Sigma$, die jeweils angeben, wie die Henkelkörper an die Trisektionsfläche geklebt wird. Die Kurven bilden das Trisektionsdiagramm. Dieses wird mit $(\Sigma ,\alpha ,\beta ,\gamma )$ bezeichnet.

Eigenschaften

Induziertes Heegaard-Diagramm

Das Schnittsystem zweier Henkelräume (z.B. $X_1\cap X_2$, $X_2\cap X_3$) induziert $2g$ geschlossene Kurven auf $\Sigma$. Diese bilden ein Heegaard-Diagramm $(\Sigma ,\alpha ,\beta )$ von ${♮}^g(S^1\times B^2)$.

Eindeutige Darstellung von Mannigfaltigkeiten

Es ist möglich, aus einem Diagramm eine Mannigfaltigkeit wiederherzustellen.