Konferenz Ogawa - Shadow Complexity and Trisection Genus

Abstract

A shadow of a closed 4-manifold is a 2-complex suitably embedded in the 4-manifold. An invariant, called the shadow-complexity, of 4-manifolds is defined by counting certain vertices in shadows. On the other hand, a trisection is a decomposition of a 4-manifold into three handlebodies. The trisection genus of a 4-manifold is defined as the minimum genus of all trisection surfaces. In this talk, we introduce a refined version of the shadow-complexity and give an inequality between the complexity and the trisection genus. Furthermore, we determine the complexity we introduced for some 4-manifolds. This is joint work with Hironobu Naoe.

1. Main results

Satz 1

Für jede geschlossene $4$-Mannifaltigkeit $M$ und $r\ge \frac{1}{2}$, $g(W)\le 2+2{\text{sc}}_r(M)$

Satz 2

Die $\frac{1}{2}$ gewichtete Schattenkomplexität einer $4$-Mannigfaltigkeit $M$ ist $0$ g.d.w. $M$ ist diffeo zu $S^4,C{P}^2,{\overline{CP}}^2,S^2\times S^2,2C{P}^2,C{P}^2\#C{P}^2$ oder $2\overline{C{P}^2}$

Alle Mannigfaltigkeiten sind geschlossen

2. Was ist ein Schatten

Definition

Ein simpler Polyeder ist ein 2-Komplex, mit speziellen lokalen Modellen. Seien $S(X)$ die Mengen der Einfach- und Dreifachkanten. Jede Komponente $X-S(X)$ wird als Region bezeichnet.

Definition

Ein einfacher Polyeder $X$ eingebettet in einer geschlosseen $4$-Mannigfaltigkit $M$ lokal-flach ist ein Schatten von M wenn…

Ein Schatten wird speziell genannt, wenn jede Region eine Kreisscheibe ist.

Satz 4 (Turarev)

Jede Mannigfaltigkeit besitzt einen Schatten.

Es ist möglich aus einem normalen Schatten einen speziellen Schatten zu erstellen.

Definition (Schattenkomplexität)

Wie zahl der wahren Kanten eines Schattens $X$ wird mit $c(X)$ bezeichnet. $\text{sc}(M)=\min \{\}$

3. Was ist eine Trisektion

Die Definition der Trisektion ist hier gegeben. Die Trisektionsfläche wird hier als Spine bezeichnet.

4. Zusammenhang zwischen Schatten und Trisektion

Wir wollen eine Trisektion in einen Schatten umwandeln. Begine mit einem Trisektionsdiagramm. Sei $({\Sigma }_g,\alpha ,\beta ,\gamma )$ eine Gesclecht $g$ Trisektionsdiagramm. Wir konstruieren einen einfachen Polyeder $X$ durch Anschließen von Kreisscheiben an ${\Sigma }_g$ entlang $\alpha ,\beta ,\gamma$. Wir erhalten dadurch einen Schatten der dreigeteilten Mannigfaltigkeit $M$. Die Schnitte der Kurven werden zu den wahren Knoten des Schattens.

Nun probieren wir es umgekehrt. WIe macht man aus einem Schatten eien Trisektion Sei $X$ ein spezieller Schatten. Jede Region ist damit eine Kreisscheibe. Definiere nun Henkelkörper $H_1,H_2,H_3$. Sei $S(X)$ die singuläre Menge (singular Set) von $X$. Definiere $H_1$ durch $H_1=N(S(W))$ da jede Region eine Kreisscheibe ist, sind die Zusammenhangskomponenten von $N(R)$ $2$-Henkel, diean $\partial H_1$ angeschlossen ist wobei $R$ die Vereinigung aller Regionen ist.

Neue Schattenkomplexität

Für $r\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$, sei $M$ eine nicht geschlossene Fläche, dann definieren wir $c_r(X)=c(X)+\sum _{R:\text{ Region}}r(1-\chi (R))$

$(1-\chi (R))$ beschreibt die minimale Zahl von Bügen, die $R$ in eine Kreisscheibe aufschneiden. Eine geschlosseneFläche ist kein Schatten einer $4$-Mannifaltigkeit außer $S^2$

Definition

Sei $M$ eine geschlossene, orientierte $4$-Mannigfaltigkeit. Die gewichtete Schattenkomplexität von $M$ ist: ${\text{sc}}_r(M)=\min \{c_r(X:X\text{ ist ein Schatten von }M\}$

5. Neue Komplexität