Zwei-Brücken-Verschlingung

Beschreibung

Zwei-Brücken-Knoten sind eine spezielle Klasse von Knoten, bei denen die Brückenzahl $2$ ist. Man konnte zeigen, dass die Zwei-Brücken-Knoten genau die Rationalen Knoten sind.

Definition

Aus einem Gewirr $T$ kann man folgendermaßen eine Verschlingung generieren: ![[Zwei-Bren.png]] $N(T)$ und $D(T)$ werden jeweils als Zähler und Nenner bezeichnet.

Eigenschaften

Eigenschaft

Die Knote, die durch Bilden des Nenners aus einem Rationales Gewirr $t\left(\frac{p}{q}\right)$ hervorgeht sind genau die Rationale Verschlingung $D\left(t\left(\frac{p}{q}\right)\right)$.

Bedingung für Knoten

Hat die zugehörige tionalen Gewirrs einen ungeraden Nenner, dann ist die * ei Knoten, sonst nicht.

Äquivalenz (Schubert's Klassifikationssatz + Kogiso-W)

Durch das Zusammenbinden, geht Informationen der Verschlingungen verloren, was mehr Äquivalenz ermöglicht. Zwei Rationale Knoten $D\left(t\left(\frac{p}{q}\right)\right)$ und $D\left(t\left(\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}\right)\right)$ sind äquivalent, g.d.w.

1. $q=q^{\prime }$
2. $p{p}^{\prime }=1\mathrm{mod}q$ oder $p=p^{\prime }\mathrm{mod}q$

Vergleiche dazu die Reflektion (Kettenbruch)

Spiegelung

cap (0, 1)$mitderDarstellung$\alpha = \frac{p}{q} = [0, a_{1}, …, a_{n-1}, a_{n}]$mit$n$gerade.Sei$0 \leq p’ \leq q-1$eineZahlmit$pp’ = 1 \mod q$.Danngilt$[0, a_{n}, a_{n-1}, …, a_{1}] = \frac{q-p’}{q}$. Man erhält dadurch die Spiegelung der Verschlingung Die Operation is übrigens die Inversion (Kettenbruch)

Beispiele