Differenzieren entlang einer Kurve

bin ich darauf eingegangen, wie man einen Zusammenhang als die Beschleunigung einer Kurve oder als die Änderung eines Tangentialvektors entlang der Kurve verstehen kann.

Diese Charakterisierung des Zusammenhangs soll hier genauer untersucht werden.

Definition

Sei $\nabla$ eine Linearer Zusammenhang auf $E$. Dann gibt es einen Operator $\frac{\nabla }{\partial t}$, welches auf Schnitt $\mu$ entlang einer Kurve $\gamma$ wirkt, welche eindeutig bestimmt ist durch:

1. $\mathbb{R}$-Linearität: $\frac{\nabla }{dt}\lambda \mu (t)=\lambda \frac{\nabla }{dt}\mu (t)$
2. $\frac{\nabla }{dt}$ erfüllt die Produktregel $\frac{\nabla }{dt}(f\mu )(t)=f^{\prime }(t)\mu (t)+f(t)\frac{\nabla }{dt}(t)$
3. Ist ein Schnitt $\mu$ entlang $\gamma$ induziert durch einen (lokalen) Schnitt $\sigma$ von $E$, d.h. $\mu (t)=\sigma (\gamma (t))$, dann gilt $\frac{\nabla }{dt}\mu ={\nabla }_{\dot{c}}\mu$

Die letzte Regel ist nicht ohne Sinn da. Man kann nämlich auf einer konstanten Kurve ein sich drehendes Vektorfeld definieren. Offensichtlich existiert dafür kein Vektorfeld.

Charakterisierungen

Charakterisierung durch Paralleltransporte

Weiß man, wie sich alle Paralleltransport verhalten, so kann man die Verbindung reproduzieren. Sei $\pi E\to M$ ein Vektorbündel und $c:(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ eine glatte Kurve, $\sigma$ ein Schnitt entlang $\gamma$.

Beschreibe mit $P_t:E_{c(0)}$ den Paralleltransport. Dann $\frac{\nabla }{dt}\sigma (0)={\lim }_{t\to 0}\frac{P_t^{-1}\sigma (c(t))-\sigma (c(0))}{t}$

Eigenschaften