Lie Klammer von Vektorfeldern

Beschreibung

Die Lie-Klammer von Vektorfeldern kann algebraisch als Analogon zur Differenz $vw-wv$ zweier globaler Derivationen betrachtet werden.

Geometrisch beschreibt $[X,Y]$ den Unterschied, einen infinitesimalen Schritt entlang $X$, dann $Y$ zu nehmen oder einen infinitesimalen Schritt entlang $Y$, dann $X$ zu nehmen.

Definition

Seien $X,Y:M\to TM$ Vektorfelder. Es gibt ein eindeutiges Vektorfeld $[X,Y]$ auf $M$, sodass für jede Glatte Funktion erfüllt ist: $[X,Y]f=XYf-YXf$

Wobei $Xf$ hier die Lie Ableitung bezeichnet. Es ist wichtig zu verstehen, dass das $XYf$ selbst kein Vektorfeld ist. (Vermutlich fehlt die Glattheit)

Intuition

Wie in der Beschreibung gesagt, beschreibt $[X,Y]$ den Unterschied, einen infinitesimalen Schritt entlang $X$, dann $Y$ zu nehmen oder einen infinitesimalen Schritt entlang $Y$, dann $X$ zu nehmen.

Beweis: Es gilt $[X,Y]=XY-YX$. $XY$ ist hierbei einfach eine Lie Ableitung. Es beschreibt, wie sich $Y$ ändert, wenn man $X$ folgt. Das heißt: Folgt man erst $X$ und dann $Y$ kommt man an einem anderen Punkt an, als man dachte. Die Abweichung vom vorhergesehenen Punkt ist $XY$. Folgt man erst $Y$, dann $X$ ist die Abweichung gegeben $YX$. Demnach ist $XY-YX$ der Unterschied, die beiden Pfade zu gehen.

Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=SfOiOPuS2_U&list=PLJHszsWbB6hpk5h8lSfBkVrpjsqvUGTCx&index=24

Eigenschaften

Form in Koordinaten

Seien $X,Y$ Vektorfelder au $M$. Sei $\phi =(x^1,...,x^n)$ eine Karte auf $M$. Schreibe $X,Y$ in Koordinaten: $X={\sum }_{i=1}{f}_i\frac{\partial }{\partial x^i},Y={\sum }_{i=1}{g}_i\frac{\partial }{\partial x^i}$

Dann gilt $[X,Y]={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\text{klam}{f}_i\frac{\partial g_i}{\partial x^i}-g_i\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^i}$

Zusammenhang mit lokalem Fluss

Seien $X,Y$ zwei Vektorfelder auf $M$ und ${\theta }_t$ die lokale Gruppe von $Y$. Dann gilt die unintuitive Gleichung: $[X,Y]=\text{klam}\frac{d}{dt}({\theta }_{t\ast }X){|}_{t=0}={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}[Y-d{\theta }_{t}Y]({\theta }_p(p))$

Vertauschbarkeit mit Pullback/Pushforward

Beim Umgang mit Lie-Klammern gilt für den Pullback bzw. Pushforward: $f_{\ast }[X,Y]=[f_{\ast }X,f_{\ast }Y],f^{\ast }[X,Y]=[f^{\ast }X,f^{\ast }Y]$

lit_gallotRiemannianGeometry2004