Projektiver Zusammenhang

Beschreibung

Ein Projektiver Zusammenhang ist ein Zusammenhang der durch Projektion eines Tangentialvektors definiert ist. Es ist der natürliche Zusammenhang auf einer Untermannigfaltigkeit von R. Aus dieser allgemeinen Prinzip geht beispielsweise der Zusammenhang der Sphäre hervor.

Motivation

Sei $M$ eine Untermannigfaltigfaltigkeit von ${\mathbb{R}}^n$. Sei $c:[0,1]\to M$ eine Kurve. Wir untersuchen die der Mannigfaltigkeit $M$ intrinsich zugrunde liegende Änderung der Kurvenrichtung entlang der Kurve. Wir suchen sozusagen die Beschleuningung der Kurve auf $M$.

Da $M$ in ${\mathbb{R}}^n$ eingebettet ist, ist die Beschleunigung leicht über die Formel $\frac{\partial }{\partial t}\dot{c}(t)$ berechenbar. Der Beschleunigungsvektor muss aber nicht notwendigerweise im Tangentialraum von $M$ liegen, sondern kann aus ihm herausstechen.

Das lässt sich zu Beispiel beobachten, wenn man sich entlang eines Großkreises auf einer Kugel bewegt. Die extrinsische Beschleunigung der Kuve zeigt zum Zentrum der Kugel hin. Wir beheben dieses Problem, indem wir den herausstechenden Tangentenvektor zurück auf die Tangentialebene projeziieren. Das Resultat bezeichnen wir mit ${\nabla }_{\dot{c}}\dot{c}$. (.d.h die Änderung den Vektorfeldes $\dot{c}$ in Richtung $c$). Ist die Beschleunigung $0$, so Bewegen sich Objekte mit konstanter Geschwindigkeit auf natürliche Weise entlang Geodäten

Das Vorgehen lässt sich auch auf einen Schnitt entlang einer Kurve $\mu$ verallgemeinern. Wir betrachten auch hier die Änderung des zugeordneten Schnitts und bezeichnen das Resultat mit ${\nabla }_{\dot{c}}\mu$. Ist der Wert dieses Ausdrucks $0$, so ändert sich der Tangentialvektor bei Bewegung entlang einer Kurve nicht. Wir erhalten also einen Paralleltransport.

Beispiele

Kugel

Siehe Zusammenhang der Sphäre

Eigenschaften