Kurvenintegral (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Das Kurvenintegral auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Spezialfall des Formintegral (Mannigfaltigkeit). Hier integriert man entlang einer Kurve.

Definition

Sei $\omega \in {\Omega }^{\ast }(M)$ eine Differentialform und $\gamma :[a,b]\to M$ eine Glatte Kurve (Glatten Mannigfaltigkeit). Dann ist das Integral folgendermaßen definiert: ${\int }_{\gamma }\omega ={\int }_a^b\omega ({\gamma }^{\prime }(t))dt$

Eigenschaften

Kurvenintegral einer geschlossenen Kurve

Ist eine Kurve geschlossen, so gilt für eine Exakte Differentialform $d\omega$nach Stokes Satz: ${\int }_{\gamma }d\omega ={\int }_{\partial \gamma }\omega =0$