Formintegral (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Wir wollen eine Differentialform auf einer Glatte Mannigfaltigkeit integrieren.

Definition

Sei $\omega \in {\Omega }^k(M)$ eine Differentialform. Sei $M=\{{\phi }_i:U_i\to V_i:i\in I\}$ eine orientierbare glatte Mannigfaltigkeit.

Ist die Mannigfaltigkeit zusätzlich kompakt, dann gibt es eine endliche Überdeckung durch Karten und damit eine endliche Zahl von Zerlegungen der eins. Das erlaubt unten das Integral und die Suppe zu vertauschen, was das zeigen der Wohndefiniertheit erleichtert.

Finde eine endlich große Glatte Zerlegung der Eins $\{{\rho }_i\}$, subordiniert zu einer offenen Überdeckung $\{U_i,i\in I_0\},I_0\subseteq I$. Dann definieren wir das Integral als ${\int }_M\omega ={\sum }_{i\in I_0}{\int }_{V_i}({\phi }_i^{-1}{)}^{\ast }({\rho }_i\omega )(e_1,...,e_n)d{x}^1...d{x}^n$

Überraschenderweise stellen wir fest, dass das Integral nicht von der Wahl der Karten $\phi :i$ und der Zerlegung der $1$ anhängt.

Eigenschaften

Erlaubt Pullback

Sei $\phi :M\to N$ ein Diffeomorphismus. Ein Integral kann dann auch folgendermaßen berechnet werden: ${\int }_N\omega ={\int }_M{\phi }^{\ast }(\omega )$