Beschreibung
Die Euler-Charakteristik einer Topologische Mannigfaltigkeit ist eine Topologische Invariante, die jeder Mannigfaltigkeit zugeordnet werden kann.
Definition
Angenommen ist eine -dimensionale orientierte, zusammenhängende kompakt Glatte Mannigfaltigkeit und eine glatte Glatte Triangulation von .
Dann ist die Euler-Charakteristik definon }\tau) - #(\text{Kanten von }\tau) + #(\text{Seiten von }\tau)$$
** dass die Euler-Charakteangulation abhängig ist. Seien zwei Triangulationen. Wir können über legen und dadurch eine neue Triangulation generieren. Es lässt sich zeigen, dass das die Euler-Charakteristik von dadurch nicht verändert wird. Da man auch über legen kann, ist die Euler-Charakteristik von und gleich.
Eigenschaften
Vektorfeld mit Singularitäten aus Triangulation
Für eine beliebige Triangulation ist es möglich, ein Vektorfeld zu definieren, das die -Zuordnung durch den Index (Vektorfeld) wiederspiegelt.
Poincaré Index Satz
In Folge oberer Eigenschaft kann die Euler characteristic durch die Indizes eines beliebigen Vektorfeldes errechnet werden:
Das bedeutet, dass die Euler Zahl einer Fläche nicht von der Triangulation abhängt und damit wohldefiniert ist.
Beispiele
Geschlossene Flächen
Sei eine geschlossene Fläche. Dann ist die Eulersche Charakteristik:
lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014 lit_adamsKnotBook1994