Globale Derivation

Beschreibung

Ordnet man jedem Punkte einer Mannigfaltigkeit glatt eine Lineare Derivation zu, so erhält man eine Globale Derivation, die einer Funktion aus $C^{\infty }(M)$ auf eine andere Funktion aus $C^{\infty }(M)$ abbildet.

Definition

Eine globale Derivation auf einer Glatte Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Abbildung $v:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$, die die Bedingungen einer Derivation erfüllt:

• Linearität: $v(\lambda f+\mu g)=\lambda v(f)+\mu v(g)$
• Produktregel: $v(f\cdot g)=f(p)v(g)+g(p)v(f)$

Eigenschaften

Vektorraum

Globale Derivationen bilden einen Vektorraum.

Komposition

Die Komposition einer Globalen Derivation ist keine Derivation, denn es gilt $v\circ w(f\cdot g)=f\cdot vw(g)+vw(f)\cdot g+vf\cdot wg+vg\cdot wf$ Was nicht der Produktregel folgt.

Die Problematischen Terme kürzen sich aber heraus, wenn man die Differenz $v\circ w-w\circ v$ bildet. Diese Differenz ist analog zur Lie Klammer von Vektorfeldern.

lit_gallotRiemannianGeometry2004