Beschreibung
Die Poincaré Homologie-Sphäre (im engl. Poincaré dodecahedral space) ist eine geschlossene -dimensionale Manigfaltigkeit, die man durch Identifikation von Seiten eines Dodekaeder erhält.
Definition
Betrachte einen vollen Dodekaeder. Wir wollen nun jede Seite auf die gegenüberliegende Seite kleben. Da gegenüberliegende Seiten etwas versetzt zueinander sind, drehen wir die vordere Seite um ein Volldrehung und kleben sie dann zusammen.
Läuft man also auf einer Seite raus, kommt man auf der gegenüberliegenden Seite wieder rein.
Die Identifikation von Seiten induziert eine Identifikation von Kanten. Wir können durch Zeichnen eines Bildes erkennen, dass drei Kanten miteinander identifiziert werden. Ebenso können wir zeigen, dass vier Punkte miteinander identifiziert werden.
Man kann dann noch folgern, dass der erhaltene Raum tatsächlich eine Topologische Mannigfaltigkeit ist.
Homologie-Sphäre mit euklidischer Geometrie
Soll die durch das obere Verfahren resultierende Mannigfaltigkeit eine euklidische Geometrie besitzen, so müssen kleine Winkel in der Mannigfaltigkeit immer zu addieren. Dies ist aber nicht der Fall, wenn wir einen normalen Dodekaeder nehmen. dessen Ecken addieren sich nämlich nur zu . erhalten, wenn wir stattdessen einen Dodekaeder der Sphärische Geometriemit korrekter Größe wählen. Dort ist die Innenwinkelsumme nämlich größer.
Eigenschaften
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