Schnitt (Vektorbündel)

Beschreibung

Sektionen sind Funktionen, die jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Element der zugeordneten Faser $E_p$ zuordnet. Damit kann man Beispielsweise über einem Tangentialbündel ein Vektorfelder definieren.

Definition

Für einen Vektorbündel $\pi :E\to M$ ist eine Sektion eine Glatte Abbildung $s:M\to E$, sodass $\pi \circ s=id$

Der Raum der Sektionen auf $E$ ist $\Gamma (E)$

Eigenschaften

Sektionen des Kotangentialraums

Die Sektionen in $\Gamma (T^{\ast }M)$ sind differenzierbare $1$-Formen $\omega$.

Glattheit unter Dualität

Ist $\sigma$ eine Sektion von $E$ und $\eta$ eine Sektion von $E^{\ast }$, dann ist $x\mapsto \eta (x)(\sigma (x))$ eine Glatte Abbildung.

Beispiele

Vektorfeld

Ein Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) ist eine Sektion einer Tangentialbündel

Sektion des Duals eines Tangentialbündels

Die Sektionen des Duals eines Tangentialbündels $\Gamma ((TM{)}^{\ast })$ haben eine konkrete Bedeutung. Eine Sektion an einem Punkt $p\in M$ ist eine differentielle 1-Form, die Vektoren frisst und Zahlen auswirft.