Differentialform (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Differentialformen erlauben Integration auf Glatte Mannigfaltigkeit. Dieser Artikel verallgemeinert die Differentialform auf glatte Mannigfaltigkeiten

Definition

Eine Differentielle Form (auch Differentielle $k$-Form) $\omega$ ist ein Schnitt (Vektorbündel) $\omega \in \Gamma (T^{\ast }{M}^{\otimes k})$ sodass für alle $p\in M,w(p)=:{\omega }_p\in {\Lambda }^k(T_p^{\ast }M)$

Das heißt ${\omega }_p:T_{p}M\times ...\times T_{p}M\to \mathbb{R}$ ist eine alternierende multilineare Abbildung.

Definition Raum der $k$-Formen

Mit ${\Omega }^k(M)$ bezeichnen wir den Raum aller differenziellen $k$-Formen auf $M$.

Eigenschaften

Lokale Basis von ${\Omega }^k$

In Koordinaten ist die Basis von ${\Omega }^k$ ist gegeben durch $d{x}^{i_1}\wedge ...\wedge d{x}^{i_k}$. Das bedeutet, dass jedes Element von ${\Omega }^k$ geschrieben werden kann als: $\sum a_{i_1,...,i_k}d{x}^{i_1}\wedge ...\wedge d{x}^{i_k}$

Q: Lokale Basis einer Differentialform in Koordinaten A: $\sum a_{i_1,...,i_k}d{x}^{i_1}\wedge ...\wedge d{x}^{i_k}$

Basis: Die Differential $1$-Formen ${\Omega }^k(M)={\Lambda }^k(T_p{M}^{\ast }\ast )$ werden durch die $d{x}^{i_j}$ als Richtungsableitungen aufgespannt. Die Basis der höheren Differentialformen sind daher durch Keilprodukt aus den $d{x}^{i_j}$ zu erhalten.

Darstellung von Formen

Ist $\phi :U\to V\subseteq {\mathbb{R}}^m$ eine Karte von $M$. dann gibt es Koordinatenfunktionen $x^i:U\to \mathbb{R}$. $d{x}^i\in {\Omega }^1(U)$ dessen Differentiale. Da $\{d{x}^i\}$ eine Basis von $T_p^{\ast }M$ ist, gilt für alle $p\in U$ $d_p{x}^{i_1}\wedge ...\wedge d_p{x}^{i_r}$ ist eine Basis von ${\Lambda }^r(T_p^{\ast }M)$.

Demnach hat jedes $\omega \in {\Omega }^r(U)$ die Form $\omega ={\sum }_{i_1<...<i_r}{a}_{i_1...i_r}\cdot d_p{x}^{i_1}\wedge ...\wedge d_p{x}^{i_r}$

Formen durch Differenzierung von Formen

Es gibt eine lineare Abbildung (“Äußere Ableitung”) $d{\Omega }^{\ast }(M)\to {\Omega }^{\ast }(M)$ eindeutig bestimmt durch die Bedingung:

• Identifizieren wir ${\Omega }^0(M)={\phi }^{\infty }(M)$ Glatte Abbildung $df\in {\Omega }^1(M)$ ist die übliche Differenzierung
• Wenn $\omega \in {\Omega }^r(M),\eta \in {\Omega }^{\ast }(M)$ $d(\omega \wedge \eta )=(d\omega )\wedge \eta +(-1{)}^r\omega \wedge d\eta$
• $d^2=0$

wobei ${\Omega }^{\ast }(M)={⨁}_{r\in \mathbb{N}}{\Omega }^r(M)$

Beispiele

$0$-Form

Eine $0$-Form ist eine Funktion.

$1$-Form

Ist $f$ eine Funktion, $f:M\to \mathbb{R}$, dann kann $df$ interpretiert werden als eine $1$-Form.

Formen aus Produkt von Ableitungen

Seien $f,g:M\to \mathbb{R}$ Glatte Abbildung. $\omega =df\wedge \text{dg}\in {\Omega }^2(M)$ definiert für alle $p\in M,v,w\in T_{p}M$ durch ${\omega }_p(v,w)=d_{p}f(v)d_{p}g(w)-d_{p}f(w)d_{p}f(v)$

Weblinks

• https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM

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