Dualer Vektorraumbündel

Beschreibung

Indem wir für jede Faser eines Vektorbündel den Dualraum nehmen können wir einen neuen Vektorraumbündel definieren.

Definition

Sei $\pi :E\to M$ eine Vektorbündel. Wir definieren $E^{\ast }={⨆}_{p\in M}{E}_p^{\ast }$ aus den Trivialisationen $f_U:U\times {\mathbb{R}}^n\to {\pi }^{-1}(U)$ erzeugen wir $f_U^{\ast }:U\times {\mathbb{R}}^n\to ({\pi }^{\ast }{)}^{-1}(U)={⨆}_{p\in E}{E}_p^{\ast }$ wobei ${\pi }^{\ast }$ für $u\in U$ definiert ist durch $\text{klam}({\pi }^{\ast }{)}^{-1}(u)=\text{klam}{{\pi }^{-1}(u)}^{\ast }$

Dadurch erhalten wir ein Vektorbündel.

Obacht: Ist $V\to W$ eine Lineare Abbildung, so verläuft die durch die Dualisierung induzierte natürliche Abbildung kontravariant, d.h.: $W^{\ast }\to V^{\ast }$

Beweis: Wir wollen zeigen, dass Trivialisationen für $E^{\ast }$ wie oben existieren. Wenn $b_1,...,b_n$ eine Basis von $V$ ist, dann gibt es eine eindeutige Basis $b_1^{\ast },...,b_n^{\ast }\in V^{\ast }$ des Dualraum. Wir verwenden die Trivialisationen des Bündels $E\to M$ um Kandidattrivialisationen für den Dualbündel zu bauen. Präziser, wenn: $f_U:U\times {\mathbb{R}}^n\to {\pi }^{-1}(U)$ eine lokale Trivialisation von $E$ ist, dann sind für jedes $u\in U$ die Elemente $f_U(u,e_i)$ eine Basis der Faser $E_u$. Wir beschreiben mit $f_U(u,e_i{)}^{\ast }$ die dazugehörige duale Basis von $E_u^{\ast }$. Wir definieren \begin{align}f_U^*: U \times \mathbb{R}^n &\to (\pi_{E^*})^{-1}(U) \\ (u, (v_1, ..., v_k)) &\mapsto \sum v_i \cdot f_U(u, e_i)^* \end{align}

Wir führen nun den gleichen Beweis wie bei der allgemeinen Konstruktion zu Ende und bekommen den Vektorbündel.

Eigenschaften