Reduzibler Homöomorphismus

Beschreibung

Ein Reduzibler Homöomorphismus ist ein spezieller Homöomorphismus von Mannigfaltigkeiten, die für die Nielsen-Thurston Klassifikation wichtig ist.

Definition

Sei $f$ ein Homöomorphismus einer Mannigfaltigkeit $M$. Wir nennen $f$ reduzibel, wenn es

• eine endliche disjunkte Menge $\Gamma =\{{\Gamma }_1,...,{\Gamma }_m\}$ von einfachen geschlossenen Kurven (sogenannten Reduktionskurven) gibt, die bis auf Isotopie von $f$ permutiert werden.
• Jede Kurve ist nicht-degeneriert, d.h. jede Zusammenhangskomponente von $M-\Gamma$ hat negative Euler characteristic. icht-degenerierte%20Schleife.md)bt ein $n\in \mathbb{N}$ sodass $f^n$ alle Zusammenhangskomponenten bis auf Isotopomit eine ein Homöomorphismus dieser Komponenten und lässt sich feiner untersuchen.

Beschränkte Kurvenzahl

Ist die Euler Charakteristik (Mannigfaltigkeit) der Fläche negativ, dann kann man durch die Hosenzerlegung eine Beschränkung der Zahl der essentiellen Kurven erhalten. Die oberen Kurven verursachen eine Zerlegung der Fläche. Man kann zeigen, dass die Zusammenhangskomponenten der Zerlegungen immer negative Eulercharakterisitk haben müssen und damit im besten Fall eine Hosenzerlegung sind.

Beispiel

Dehn-Twist auf Torus

Der Dehn-Twist auf dem Torus lässt die Kurve in Richtung des Twists (isotop) gleich. Dadurch wirkt der Dehn-Twist auf dem Torus wie auf einer Kreisscheibe. (Von der wir wissen, dass die Abbildungsklassengruppe $\mathbb{Z}$ ist)

lit_maretForcingRelationsPeriodic2018
lit_issa2012construction --- veranstaltung:

• “2023WiSe Forschung FrontierLab”
• “2023WiSe Kin FrontierLab” Veranstaltung: “2022WiSe Hensel Differenzierbare Mannigfaltigkeiten” typ: Mathematikartikel

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Beschreibung

Ein Reduzibler Homöomorphismus ist ein spezieller Homöomorphismus von Mannigfaltigkeiten, die für die Nielsen-Thurston Klassifikation wichtig ist.

Definition

Sei $f$ ein Homöomorphismus einer Mannigfaltigkeit $M$. Wir nennen $f$ reduzibel, wenn es

• eine endliche disjunkte Menge $\Gamma =\{{\Gamma }_1,...,{\Gamma }_m\}$ von einfachen geschlossenen Kurven (sogenannten Reduktionskurven) gibt, die bis auf Isotopie von $f$ permutiert werden.
• Jede Kurve ist nicht-degeneriert, d.h. jede Zusammenhangskomponente von $M-\Gamma$ hat negative Euler characteristic. icht-degenerierte%20Schleife.md)bt ein $n\in \mathbb{N}$ sodass $f^n$ alle Zusammenhangskomponenten bis auf Isotopie erhält. $f^n$ ist somit eine ein Homöomorphismus dieser Komponenten und lässt sich feiner untersuchen.

Beschränkte Kurvenzahl

Ist die Euler Charakteristik (Mannigfaltigkeit) der Fläche negativ, dann kann man durch die Hosenzerlegung eine Beschränkung der Zahl der essentiellen Kurven erhalten. Die oberen Kurven verursachen eine Zerlegung der Fläche. Man kann zeigen, dass die Zusammenhangskomponenten der Zerlegungen immer negative Eulercharakterisitk haben müssen und damit im besten Fall eine Hosenzerlegung sind.

Beispiel

Dehn-Twist auf Torus

Der Dehn-Twist auf dem Torus lässt die Kurve in Richtung des Twists (isotop) gleich. Dadurch wirkt der Dehn-Twist auf dem Torus wie auf einer Kreisscheibe. (Von der wir wissen, dass die Abbildungsklassengruppe $\mathbb{Z}$ ist)

lit_maretForcingRelationsPeriodic2018
lit_issa2012construction