Nielsen-Äquivalenz

Beschreibung

Die Nielsen-Äquivalenz weicht die Globale Überschattung ein wenig auf, sodass sie für Pseudo-Anosovsche Homöomorphismen nutzbar wird. Sie erlaubt neben den Überschattungskriterien, die periodische Berichtigung durch eine Decktransformation.

Die Äquivalenz wird genutzt, um periodische Punkte zu klassifizieren.

Definition

Sei $n\in \mathbb{N}$, $f_1,f_2$ isotope Homöomorphismen von $M$. Sei $x$ ein Fixpunkt von $f_1^n$ und $y$ ein Fixpunkt von $f_2^n$. Bezeichne mit ${\tilde{f}}_1,{\tilde{f}}_2,\tilde{x},\tilde{y}$ Hebungen, die mit der Isotopie kommutieren. Wir sagen, dass der $f_1$ Orbit von $x$ Nielsen-Äquivalent zum $f_2$-Orbit von $y$ ist, wenn eine Decktransformation $\tau \in {\text{Homo¨o}}_p(\tilde{M})$ existiert, sodass

• ${\tilde{f}}_1^n(\tilde{x})=\tau \tilde{x}$ und
• ${\tilde{f}}_2^n(\tilde{y})=\tau \tilde{y}$

Wir schreiben dann $(x,f_1^n)\stackrel{NE}{\sim }(y,f_2^n)$

Beobachte, dass für Fixpunkte $x,y$ von $f_1^n,f_2^n$ immer zwei Decktransformationen $\tau ,\sigma$ existieren, sodass ${\tilde{f}}_1^n(\tilde{x})=\tau \tilde{x}$ und ${\tilde{f}}_2^n(\tilde{y})=\tau \tilde{y}$. Die Nielsen-Äquivalenz identifiziert die Punkte, bei denen $\tau =\sigma$. Auch diese Äquivalenz kann durch Pfade charakterisiert werden.

Eigenschaften

Eigenschaft

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