Messbare Blätterung

Beschreibung

Eine gemessene Blätterung ist einfach eine normale Blätterung $\mathcal{F}$. Wir fügen allerdings eine Messfunktion $\mu$ hinzu, die die Abstand zwischen zwei Blättern misst. Mit ihr lässt sich die Dichte der Blätterung quantitativ angeben.　

Wir schreiben beides als $(\mathcal{F},\mu )$.

Es ist nicht leicht, die Dichte einer Blätterung anzugeben, wo ein kleiner Raum immer überabzählbar viele Blätter liegen. Bedient man sich aber der Tatsache, dass die Blätterungen kartiert sind, ist es möglich für eine bestimmte Karte in Koordinaten einen Abstand zwischen zwei Blättern anzugeben. Dies ist natürlich nur für Blätterungen möglich, bei denen bei allen Karten das gleiche herauskommt, weshalb die Existenz einer Messfunktion sehr einschränkend ist.

Definition

Sei $\gamma$ eine transversale Kurve. die Messfunktion $\mu$ ordnet $\gamma$ eine Zahl zu, sodass folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $\mu (\gamma )$ ispie|Blatterhaltenden Isotopien]] von $\gamma$
• $\mu (\gamma )$ errechnet sich als I\int_{\gamma} |dx_{n}|$$ *wobei x_{n}$ die 1-Form senkrecht zur Blätterung ist. Dies ist nur bei einem Atlas, bei denen Kartenübergänge die Blattabstände erhalten, wohldefiniert.*

Die letzte Definition ist eventuell eleganter in der universellen Überlagerung ieren, da dort alle Kurven der gleichen Homotopie angehören.

Definition durch $\mathcal{G}$-Gruppe

Es gibt eine Möglichkeit, Blätterungen durch $\mathcal{G}$-Gruppen zu definieren. Eine Blätterung $\mathcal{F}$ einer Fläche $S$ ist eineen, genannt Blätter und endlich viele Singularitäten $X$, sodass

1. Sei $\mathcal{G}$ die Pseudogruppe, generiert durch alle Diffeos auf offene Untermengen von ${\mathbb{R}}^2$, die horizontale Linien auf horizontale Linien abbilden und die Distanz in $y$-Richtungen erhalten. Der Atlas von $S-X$ hat eine Sub-$\mathcal{G}$-Atlas, bestehend aus Karten, die Blätter auf horizontale Linien senden.
2. Für jede Singularität $p$ gibt es eine Karte auf von $p$ zu ${\mathbb{R}}^2$, welcher Blätter auf einen $k$-zackigen Sattel abbildet, wobei $k\ge 3$ (außer es handelt sich um eine Bohrung).
3. Jede Bohrung ist zu einer $k\ge 1$-zackigen Singularität vervollständigbar

Eigenschaften

Kurvenmessung

Es ist möglich, die Messfunktion auf eine beliebige nicht-transversale Kurve $\gamma$ zu verallgemeinern. $\mu (\gamma ):=\sup \sum _i\mu ({\alpha }_i)$ wobei $\{{\alpha }_i\}$ eine endliche Zerlegung in transversale Kurven ist.

Wirkung eines Homöomorphismus

Ein Homöomn Blätterungen durch $f\cdot (\mathcal{F},\mu )=(f(\mathcal{F}),f_{\ast }(\mu ))$ wobei ${}_{\ast }$ den Pushforward bezeichnet.

Poinca heorem

Sei $(\mathcal{F},\mu )$ eine Messbare Blätterung einer kompakten Fläche $M$. Ist $l$ ein unendliches oder semi-unendliches Blatt, so schneidet jede Kurve $l$ keinmal oder unendlich oft.