Reduzierte Homologie

Beschreibung

In vielen Sätzen der Homologietheorie muss die $0$-Homologie separat betrachtet werden. Dieses Problem kann gelöst werden, indem eine $-1$-Homologie eingeführt wird.

Definition

Definiere die reduzierte Homologie ${\tilde{H}}_n(X)$ indem in den Kettenkomplex ein weiteres $\mathbb{Z}$ eingeschoben wird. $...\to C_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}\to ...\to C_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\stackrel{ϵ}{\to }\mathbb{Z}\to 0$ Wir erhalten ${\tilde{H}}_i(X)=H_i(X)$ für $i\ge 1$ und ${\tilde{H}}_0(X)=ker(ϵ)/im({\partial }_1)$. Dabei ist $ϵ\left(\sum _{i=1}{n}_i{\sigma }_i\right)=\sum _{i=1}{n}_i$ Zudem ergibt sich die Gleichung $H_0(X)=\mathbb{Z}\oplus {\tilde{H}}_0(X)$

Eigenschaften

Eigenschaft

lit_hatcherAlgebraicTopology2002 opologie lit_hatcherAlgebraicTopology2002