Beschreibung
Auf jedem Topologischen Raum gibt es eine gewisse natürliche, “maximale” Überlagerung.
Die Idee ist folgende: Jede Kurve, die nicht nullisotop ist, muss irgendein Loch umrunden. Beim Umrunden dieses Loches wechselt die Kurve das Deck der Überlagerung.
Eigenschaften
Decktransformationen Fundamentalgruppe
Sei ein Topologischer Raum. Jedes nichttrivale Element von repräsentiert eine Homotopieklasse von Kurven. Jede dieser Kurven führt auf ein neues Deck.
Triviale Fundamentalgruppe
Die Fundamentalgruppe einer universellen Überlagerung ist trivial, denn wäre sie es nicht, dann gäbe es eine geschlossene Kurve, die nicht nullhomotop ist. Diese Kurve projeziert aber auf eine nicht-nullhomotope Kurve in . Heben wir diese Kurve zurück, dann müsste das Ergebnis auf einem neuen Deck landen.
Baumförmiges Skelett
Da die Fundamentalgruppe trivial ist, ist das 1-Skelett einer Überlagerung ein Baum
Beispiele
2-Doppeltorus
Siehe 2-Doppeltorus
lit_thiffeaultBraidsDynamics2022 lit_maretForcingRelationsPeriodic2018