Beschreibung
Die entwickelnde Abbildung (eng. developing map) stattet die universelle Überlagerung mit Geometrie aus.
Definition
Sei eine zusammenhängende, vollständige, Hyperbolische Mannigfaltigkeit, mit dimension . Sei ein Fußpunkt und sei eine Karte, die den Fußpunkt enthält. Sei die Universelle Überlagerung von . Die Entwickelnde Abbildung ist die stetige Abbildung definiert wie folgt: Sei interpretiert als eine Klasse von Pfaden in , beginnend bei . Wir stellen uns nun vor, wie wir zugleich in und in einer Kurve folgen. Dies ist möglich, da hyperbolisch ist und damit lokal mit der Hyperbolischen Halbebene verträglich ist.
Dies ähnelt der Tatsache, dass jede Universelle Überlagerung einer Riemannsche Fläche die Hyperbolische Halbebene ist.
Eigenschaften
Eigenschaft