Längenvergleich

Beschreibung

Beim Längenvergleich handelt es sich um einen weiteren Satz der Vergleichenden Geometrie. Hier werden Längen von Kurven auf Bällen miteinander verglichen.

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit begrenzter Krümmung $\le \kappa$. Seien $m\in M,\hat{p}\in M_{\kappa }^n$ zwei Punkte und $I:T_{p}M\to T_{\hat{p}}{M}_{\kappa }^n$ eine lineare Isometrie. Wähle einen Radius $r$, sodass ${\exp }_p:B_r(0)\to B_r(p),{\exp }_{\hat{p}}:B_r(0)\to B_r(\hat{p})$ Diffeomorphismen sind. Die Exponentialfunktionen und die lineare Isometrie ergeben eine Möglichkeit Vergleichsbälle zu definieren. Sei $c:[0,l)\to B_r(p)$ eine differenzierbare Kurve und $\hat{c}(t)={\hat{\exp }}_{\hat{p}}\circ I\circ {\exp }_p^{-1}(c(t))$ die Vergleichskurve. Dann gilt: $l(c)\ge l(\hat{c})$

Eigenschaften

Eigenschaft