Variationsfeld

Beschreibung

Bei einer Kurvenvariation werden Kurven nach einer bestimmten Homotopie verzerrt. Die Richtung dieser Verzerrung gibt das Variationsfeld an.

Definition

Sei $F=c_s$ eine Eigentliche k-Parameter Variation, dann ist $\frac{\partial F}{\partial x^i}{|}_{s=0}=V_i(t)$ ein Variationsfeld.

Eigenschaften

Existenz einer Variation

Sei $c:[a,b]\to M$ eine stückweise glatte Kurve und $V$ ein Vektorfeld (Vektorraum) entlang der Kurve. Dann gibt es eine k-Parameter Variation $c_s$ von $c$ mit einem Variationsfeld $V$. Falls $V(a)=0=V(b)$, dann ist die Variation sogar eigentlich.

Beweis: Wähle $\epsilon >0$ klein genug, sodass ${\exp }_{c(t)}$ auf $B_{\epsilon }(0)$ definiert ist. Setze $F(s,t)={\exp }_{c(t)}s\cdot V(t)$. Dessen Ableitung nach $s$ ist dann $V(t)$.