Beschreibung

Diese Seite ist eine Zusammenfassung und Diskussion der verschiedenen Krümmungsbegriffe, die da draußen in der Mathematik existieren.

Elementare Krümmungen

Es gibt einige Krümmungen, die leicht zu verstehen sind.

Zweite Ableitung

Die wohl bekannteste Krümmung ist die zweite Ableitung, die angibt, ob ein Graph liks- oder rechtsgekrümmt ist.

Krümmung einer Kurve

Durch Verallgemeinerung der zweiten Ableitung auf mehrdimensionale Werteräume erhält man die Krümmung einer Kurve.

Hesse Matrix

Verallgemeinert man die zweite Ableitung weiter auf Differenzierbare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen erhält man die Hesse-Matrix, auf einer Mannigfaltigkeit die Hessesche (Mannigfaltigkeit).

Krümmungen von Mannigfaltigkeiten

Gauss Krümmung

Mit der Gausssche Krümmung kann man die Krümmung von zweidimensionalen Flächen angeben. Sie errechnet sich durch das Produkt der maximalen Krümmung einer Kurve und der minimalen Krümmung einer Kurve durch den Punkt.

Gauß-Krümmungen sind sehr nützlich, um die Krümmungen von einfachen Flächen, wie dem Torus oder einer Pizza, zu berechnen.

Krümmung eines Zusammenhangs

Mit der Krümmung eines Zusammenhangs kann man die Krümmung von sehr abstrakten Mannigfaltigkeiten berechnen. Hierfür reicht es aus, allein einen linearen Zusammenhang zu besitzen. Intuitiv berechnet die Krümmung die Verschiebung eines Vektors, den man durch Paralleltransport entlang eines infinitesimalen Parallelogramms bewegt. Ist die Krümmung , erwartet man natürlich keine Verschiebung.

Riemannscher Krümmungstensor

Der Riemannsche Krümmungstensor ist ein Spezialisierung der oberen Krümmung. Durch die gegebene Riemannsche Metrik sind wir nämlich nun in der Lage die Krümmung von eben durch eine reelle Zahl anzugeben.

Ich verstehe nicht ganz, was intuitiv passiert. Ich glaube, es wird wieder die Verschiebung von entlang des Parallelogramms berechnet. Diese Verschiebung wird dann mit dem Vektor verglichen, wodurch wir eine Zahl erhalten. Ich vermute, diese Zahl gibt die Krümmung in die Richtung an.

Jacobi-Feld

Besitzen wir eine glatte einparametrige Familie von Geodätischen, so gibt die Ableitung davon das sogenannte Jacobi-Feld , dass erklärt, wie sich die Kurven in Zukunft verhalten. Dies gibt direkte Information über das Krümmungsverhalten der Mannigfaltigkeit. Als solches steht es direkt mit der Krümmung in Verbindung

Schnittkrümmung

Die Sectional curvature ist wieder einfach zu verstehen. Sie misst die Krümmung entlang einer Tangentialebene eines Tangentialraums. Man sie kann sich folgendermaßen vorstellen: Man nehme einen Punkt und einen zweidimensionalen Unterraum des Tangentialraums . Schießt man nun Geodätische in Richtung der Tangentialebene, so bilden die Geodätischen eine zweidimensionale Fläche. Dessen Gausssche Krümmung ist einfach die Sectional curvature. Die Schnittkrümmung hat folgenden Zusammenhang zur Krümmung eines Zusammenhangs:

Ricci-Krümmung

Die Ricci-Krümmung ist noch eine weitere Variation der Krümmung eines Zusammenhangs. Sie ist die durchschnittliche Schnittkrümmungen aller Tangentialebenen, die den Vektor enthalten. Sie gibt grob an, wie sich eine Form verändert, wenn man einer Geodäte entlang folgt.

Im Vergleich zu den anderen Krümmungen hat die Ricci-Krümmung sehr wenige Parameter. Damit ist sie ziemlich nützlich, um bestimmte Rechnungen durchzuführen. Beispielsweise lässt sich mit ihr der Satz von Bonnet-Myers stärker formulieren.

-Krümmung

Die CAT(k)-Krümmung ist eine Kennzahl mit der man metrischen Räumen eine Krümmung zuweisen kann. beschreibt wie hyperbolisch kleine Dreiecke aussehen.

\newcommand{\R}{\mathbb R}

\newcommand{\H}{\mathbb H}