Total normale Umgebung

Beschreibung

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $p\in M$. Eine Umgebung $U$ von $p$ heißt total normale Umgebung, wenn es ein $\delta >0$ gibt sodass für alle $q\in U$:

1. ${\exp }_p:B_{\delta }(0)\to {\exp }_q{B}_{\delta }(0)$ ein Diffeomorphismus
2. Überdeckung: $U\subseteq {\exp }_p{B}_{\delta }(0)$

D.h. eine Umgebung ist total Normal gibt, wenn es einen Ball gibt, der durch ${\exp }_p$ wie ein Diffeo auf die Mannigfaltigkeit geklebt wird.

Eigenschaften

Existenz

Für einen Punkte $p\in M$ einer Riemannsche Mannigfaltigkeit existiert immer eine total normale Umgebung.

Eindeutigkeit einer Geodäte im Ball

Für $q,q^{\prime }\in U$ existiert eine eindeutige Geodäte mit Länge $\le \delta$ in ${\exp }_q{B}_{\delta }(0)$, die $q$ und $q^{\prime }$ verbindet.

Diese Geodätische muss nicht die kürzeste Geodätische sein, die $p,q$ verbindet. Die Geodätische darf außerdem $U$ verlassen, solange sie nur im Ball bleibt. Dass die Geodätische nicht minimal ist, erkennt man gut an der Sphäre. Die Sphäre ohne Südpol ist ein Bild von ${\exp }_p$ aber manche Längenminimierende Geodätische verlaufen durch den Südpol.