Indexform

Beschreibung

Die Indexform ist eine Differentialform, die genutzt wird, um Längenminimierende Geodätische oder Konjugierter Punkt zu studieren. Ich verstehe es als eine Verallgemeinerung der Zweite Variation der Energie. Soweit ich sie verstehe, misst sie, wie weit ein Vektorfeld von einem Jacobifeld mit verschwindenden Enden entfernt ist.

Definition

Sei $c:[0,l]\to M$ eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit). $\mathcal{V}$ der Raum der stückweise glatten Vektorfelder entlang $c$. Dann definieren wir eine symmetrische, bilineare Form: $I:\mathcal{V}\times \mathcal{V}\to \mathbb{R},I(V,W)={\int }_0^{l}g(V^{\prime },W^{\prime })-g(R(V,c^{\prime })c^{\prime },W)dt$ Dessen quadratische Form $I(V)=I(V,V)$ wird als Indexform bezeichnet.

Dies ist einfach die Zweite Variation der Energie für ein Vektorfeld $V$ mit verschwindenden Endpunkten. Die Indexform gibt uns also die Krümmung der Energie beim Verschieben einer Kurve entlang des Variationsfeld. Durch partielle Integration des ersten Summanden an allen differenzierbaren Teilstrecken erhalten wir die Gleichung:

Anwendung einer partiellen Integration

&= - \text{Ähnlichkeit zu Jacobi-Feld} - \text{Undifferenzierbarkeit des Vektorfeldes}\end{align}$$ *Ich bin ein wenig verwirrt. Oben steht, das Vektorfeld ist zweimal differenzierbar. In dem Fall wäre aber der zweite Summand immer $0$.* # Eigenschaften >[!tip] Eigenschaft > >Ein stückweise doppelt differenzierbaren Vektorfeldern, die bei $0, l$ verschwinden $V \in \mathcal{V}$ ist im [[Kern]] von $I$ genau dann, wenn $V$ ein [[Jacobi-Feld]] ist. >Des weiteren ist die Dimension des Kerns genau die [[Multiplizität (Konjugierte Punkte)]] des [[Konjugierter Punkt|konjugierten Punktes]]. Die Intuition dahinter ist ganz einfach. Bewegen wir eine Geodätische in Richtung eines Jacobi-Felds, geht unsere Geodätische in andere Geodätische gleicher Länge und gleicher Energie über. Damit ist die Zweite Variation der Energie $0$. **Beweis:** Ist $V$ ein [[Jacobi-Feld]], so sieht man aus der Jacobi-Gleichung und der zweiten Definition der Indexform, dass $I(V, V) = 0$. >[!tip] Lemma > >Sei $c:[0, l] \to M$ eine Geodätische und $c(t), c(0)$ [[Konjugierter Punkt|konjugiert]]. Dann gibt es ein glattes Vektorfeld $V$ sodass $V(0) = 0 = V(l)$ und $I(V, V) <0$. Ich finde oberes Lemma ein wenig komisch. Meiner Meinung nach widerspricht es mit dem Indexlemma unten. Es kann natürlich sein, dass die Orthogonalität unten den Unterschied macht. >[!tip] Indexlemma > >Sei $c:[0, l] \to M$ eine Geodätische ohne [[Konjugierter Punkt|Konjugierte Punkte]]. $J$ ist ein [[Normales Jacobi-Feld]]. $V$ ist ein stückweise $2$-fach differenzierbares, normales [[Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)]] mit $J(0) = 0 = V(0), J(t_{0}) = V(t_{0})$. Dann gilt >$$I_{t_{0}}(J, J) \leq I_{t_{0}}(V, V)$$ >Wobei $I_{t_{0}}$ die Indexform ist, die nur bis $t_{0}$ integriert wird. >Gleichheit gilt genau dann wenn $J = V$.