Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Dieser Artikel verallgemeinert das Konzept der Lokale Geodätische auf eine Glatte Mannigfaltigkeit. Die Lokale Geodätische ist in der Differentialgeometrie ein zentrales Konzept. So zentral, dass man einfach nur Geodätische sagt.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang. Eine Glatte Kurve $c:[a,b]\to M$ ist eine Geodäte, wenn gilt: ${\nabla }_{\dot{c}}\dot{c}=0$

Motivation: Betrachte $S^2$. Man kann zeigen, dass eine Kurve $c(t)$ genau dann eine Geodätische der Kugel ist, wenn die zweite Ableitung ein Vielfaches des Punktes ist. (d.h. zum Ursprung hin oder weg zeigt) $c^{\prime \prime }(t)=f(t)c(t)$ Das ist genau dann erfüllt, wenn die Änderung der Kurvenrichtung projeziiert auf den Tangentialraum $0$ ist. Das ist erfüllt, wenn für die Zusammenhang der Sphäre gilt: ${\nabla }_{\dot{c}}\dot{c}=0$ d.h. wenn die intrinsische Beschleunigung $0$ ist.

Charakterisierungen

Lokal kürzeste Strecken

Sei $(M,g)$ Riemannsche Mannigfaltigkeit. $p\in M,\delta >0$ sodass ${\exp }_p{|}_{B_{\delta }(0)}$ Diffeomorphismus. Sei $v\in B_{\delta (0)}$ und $g={\exp }_o(v)$. Falls $\gamma$ ein punktweise $C^1$-Pfad in $M$ zwischen $p$ und $q$, dann gilt $l(\gamma )\le l(c)$ wobei $c:[0,1]\to M,c(t)={\exp }_p(tv)$ die radiale Gedoäte ist. Gleichheit gilt, wenn $\gamma$ eine Reparametrisation von $c$ ist.

Für mehr Informationen siehe Radiale Geodätische.

Kürzester Repräsentant der Homotopieklasse

Sei $\gamma :S^1\to M$ stückweise glatt und $\gamma$ der kürzeste Repräsentant seiner Freie Kurvenhomotopie-Klasse. Dann ist $\gamma$ eine Lokale Geodätische und demnach glatt. Insbesondere ist eine Kurve zwischen zwei Punkten mit minimaler Energie die längenminimierende Geodätische

Beweis: Hebe eine Kurve in die Universelle Überlagerung. Dort ist die Kurve die kürzeste zwischen zwei Punkten und damit eine Geodätische. Alternativ ist jede Homotopie eine k-Parameter Variation. Geodätische sind die Elemente mit minimaler Energie (Kurven).

Erste Variation der Energie verschwindet

Eine stückweise differenzierbare Kurve $c:[a,b]\to M$ ist eine Geodätische genau dann wenn für jede eigentliche Variation $F$ von $c$ gilt $\frac{dE}{ds}(0)$

Ich erkläre mit letzten Fakt dadurch, dass die Energie um eine Geodätische herum eine Senke bildet. Wäre es nicht so, dann könnte die Energie ja noch weiter abfallen.

Berechnung

Zur Berechnung der Geodäte konstruiert man erst das Geodätisches Feld. Lösen des Feldes gibt die Geodäten.