Geodätisches Feld

dätische Feld** aus einem Levi-Cevita-Zusammenhang. Das erlaubt die Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) zu berechnen.

Der Fluss des Geodätischen Feldes ist der Geodätische Fluss.

Konstruktion

Die Gleichung ${\nabla }_{\dot{c}}\dot{c}=0$ ist einfach eine Gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Verdoppelt man die Koordinaten, so ist leicht zu zeigen, dass die Gleichung lokal eine Lösung hat. Das Verdoppeln der Koordinaten impliziert, dass wir uns die Kurve im Tangentialbündel ansehen.

Schreibe für die Differentialgleichung einfach alles in Koordinanten und nutze es, um einn Differentialgleichungssystem mit $2n$ Gleichungen aufzubauen: ${\ddot{c}}^j(t)+\sum {\dot{c}}^k(t){\dot{c}}^i(t){\Gamma }_{ki}^j=0$ Schreibt man das in Koordinaten von $TM$ erhält man die Differentialgleichungen: ${\dot{x}}^j(t)=y^j(t),{\dot{y}}^j(t)=-\sum y^k(t)y^i(t){\Gamma }_{ki}^j$ Diese definieren ein Vektorfeld auf $TM$, das Geodätische Feld.

Eigenschaften

Existenz

Es existiert ein Vektorfeld $V\in \Gamma (TTM)$, d.h ein Vektorfeld (Vektorraum) auf $TM$, sodass jede Kurve $\gamma$ von $V$ genau dann eine Trajektorie (d.h. ${\gamma }^{\prime }(t)=V(\gamma (t))$) ist, wenn $\gamma =c^{\prime }$ Ableitung einer Geodätischen ist.

Trajektorien

Die Trajektorien des Geodätischen Feldes $V\in \Gamma (TTU)$ können geschrieben werden als $(\varphi \circ c,(\varphi \circ c{)}^{\prime })$. $c$ ist dann eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit).