Geodätische Fluss

Beschreibung

Der Fluss des Geodätischen Feldes wird als der Geodätische Fluss bezeichnet.

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit $p\in M$. Dann gibt es eine offenne Umgebung $U$ um $(p,0)\in TM$ und eine glatte Abbildung $\psi :(-\epsilon ,\epsilon )\times U\to TM$ sodass $t\mapsto \psi (t,v)$ die eindeutige Trajektorie des Geodätisches Feld $V$ mit $\psi (0,v)=v$ ist.

Exponential

Wir untersuchen den Fluss für ein festes $p\in M$ und ein Variables $v$. Konkret stellen wir die Frage, wohin der Fluss nach einer Zeit $1$ uns hinführt. Die Funktion, die für ein festes $p$ den Fluss nach einer bestimmten Zeit berechnet wird mit $\psi (v,t)$ bezeichnet. Setzen wir $t=1$ ein, erhalten wir einen Ausdruck, den wir als Exponential definieren: ${\exp }_p(v)=\psi (1,v)$ Diese Exponentialfunktion ist einfach die Exponential (Geodätische). Es ist eng mit der Exponentialfunktion einer Einparametrigen Gruppe verwandt.

Eigenschaft

Variabilität der Definitionsmenge

Sei $c:(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ eine Geodätische und $\lambda >0$, dann ist $c(\lambda \cdot t)$ definiert auf $(-\epsilon /\lambda ,\epsilon \lambda )$. Wir können bei Geodäten somit o.E. eine Definitionsmenge $(-1,1)$, indem wir das tatsächliche Existenz und Eindeutigkeitsintervall etwas größer machen.