Konvexe Menge

Beschreibung

Definition

Eine Teilmenge $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ist konvex, fals für alle $p,q\in A$ auch das Segment $S_{p,q}$ sich ganz in $A$ liegt.

Eigenschaften

Invariant unter Isometrie

Eine Konvexe Menge bleibt unter Isometrien konvex

Eindeutige Projektion

Sei $C\in {\mathbb{R}}^2$ eine abgeschlossene konvexe Menge. Dann ist die Projektion wohldefiniert. D.h. Für jedes $x\in {\mathbb{R}}^2$ existiert ein eindeutiger Punkt $\pi (x)$, sodass $d(x,C)=d(x,\pi (C))$.

Sonst ist $\pi$ im allgemeinen nicht wohldefiniert.

\newcommand{\R}{\mathbb R}