Isometrie (Euklidischer Raum)

Beschreibung

Definition

Eine Isometrie der Euklidische Geometrie wird Isometrie des euklidischen Raumes genannt.

Eigenschaften

Charakterisierung

Jede Isometrie auf ${\mathbb{R}}^n$ ist affin, d.h. sie hat die Form $F(x)=Ax+p$ für eine Orthogonale Matrix $A$ und ein $p\in {\mathbb{R}}^n$

Erhaltung paarweise Abstände impliziert eine Isometrie

Seien $p_1,...,p_n$ und $q_1,...,q_n$ Punkte in ${\mathbb{R}}^n$ Falls $d(p_i,p_j)=d(q_i,q_j)$ für alle $i,j$ dann gibt es eine Isometrie $\varphi$ sodass $\varphi (p_i)=q_i$

Eindeutigkeit

Seien $p_1,...,p_n,p_{n+1}$ und $q_1,...,q_n,q_{n+1}$ Punkte in allgemeiner Position in ${\mathbb{R}}^n$ Falls $d(p_i,p_j)=d(q_i,q_j)$ für alle $i,j$ dann gibt es eine indeutige Isometrie $\varphi$ sodass $\varphi (p_i)=q_i$

Differenzierbarkeit

Jede Isometrie des euklidischen Raumes ist differenzierbar mit der Jacobi-Matrix $A$.

Verkettung von Spiegelungen

Seien $p_1,...,p_k$ und $q_1,...,q_k$ Punkte im ${\mathbb{R}}^n$ mit $d(p_i,p_j)=d(q_i,q_j)$ für alle $i,j=1,...,k$ Dann gibt es Hyperebenen $H_1,...,H_l,l\le k$ sodass für $\varphi :={\nu }_{H_1}\circ ...\circ {\nu }_{H_l}$ gilt: $\varphi (p_i)=q_i\forall i$ Mit ausreichend Punkten ($n+1$) ist damit eine Isometrie eindeutig festgelegt. Das $\varphi$, als Verkettung von Spiegelungen muss dann auch diese Isometrie sein. Jede Isometrie des ${\mathbb{R}}^n$ it daher Produkt aus $\le n+1$ Spiegelungen an Hyperebenen.

Gruppenform

Die Menge von normalen isomorphismen bildet bereits eine Gruppe. Da alle Isometrien der Euklidischen Geometrie die Form $Ax+p$ haben gilt für zwei Abbildungen: $\phi (x)=Ax+p,\psi (x)=Bx+q$ $\phi \circ \psi =A(Bx+q)+p=ABx+(Ap+q)$ Schreibt men die Funktionen in abstrakter Form erhält man $(A,p)\cdot (B,q)=(AB,Ap+q)$ Das ist ein spezielles Semidirektes Produkt

Da jede Isometrie eine Verkettung von Spiegelungen ist, ist diese Gruppe aus Elementen der Ordnung $2$ erzeugt.

Voraussetzung für Fixpunkte

Für $A+p$ Isometrie von ${\mathbb{R}}^2$ gilt: Ist $1$ kein Eigenwert von $A$, so hat $f$ einen Fixpunkt

Klassifizierung durch Fixpunkte

Angenommen $\varphi$ ist eine Isometrie des euklidischen Raumes und $\varphi (p)=p$ ist ein Fixpunkt. Dann gilt genau eines:

1. Jeder Punkt ist Fixpunkt $⟹\varphi =id$ (Identität (Mathematik))
2. $G$ sind die Fixpunkte $⟹\varphi ={\nu }_g$ (Achsenspiegelung)
3. $p$ einziger Fixpunkt $⟹\varphi (x)=p+R_{\theta }(x-p)$ (Rotation (Geometrie))

Verkettung von Rotation und Verschiebung

Wendet man in ${\mathbb{R}}^2$ erst eine Rotation (Geometrie) ${\rho }_{\theta }$ und dann eine Translation ${\tau }_v$ an, so ist das äquivalent dazu eine Rotation mit Winkel $\theta$ um den Punkt $-(R_{\theta }-Id{)}^{-1}v$ durchzuführen.

Verkettung von Spiegelung und Verschiebung

Wendet man in ${\mathbb{R}}^2$ erst eine Spiegelung ${\sigma }_g$ an Gerade $g$ und dann eine Translation um $v$ an, sind die möglichen Ergebnisse viel vielfältiger.

1. Ist $v$ parallel zu $g$ erhält man eine Gleitspiegelung an $g$
2. Steht $v$ senkrecht zu $g$ erhält man eine Spiegelung an $g+v/2$
3. Sonst ist es eine Gleitspiegelung an $g^{\prime }=g+w/2$, wobei $w$ der Vektorteil von $v$ ist, der senkrecht zu $g$ steht.

Klassifikation

Isometrien von ${\mathbb{R}}^2$

Fasst man die Eigenschaften mit den Fixpunkten und den möglichen Verkettungen mit Translationen zusammen, erhält man folgende Klassifikation für eine beliebige Isometrie von ${\mathbb{R}}^2$:

1. Identität (Mathematik) $id$
2. Rotation (Geometrie) um $p$ mit Drehwinkel $\theta$
3. Spiegelung an Geraden $g$
4. Gleitspiegelung an Geraden $g$ und Translationsvektor $v\ne 0$
5. Translation mit Translationvektor $v\ne 0$

Sonstiges

Ausrichtung eines Normalvektor

Falls $v\in R^n$ ein Einheitsvektor ist, dann gibt es orthogonales $A$ (d.h. $A^{T}A=Id$), sodass $Av=e_1$ Bildlich gibt es eine rotation, mit der ein Einheitsvektor, auf $e_1$ rotiert wird.

Ausrichtung eines Gerade

Für jede (Affine) Gerade (Lineare Algebra) $G$ gibt es eine Isometrie $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, sodass $F(G)$ die erste Koordinatenachse ist, d.h $F(G)=\{(x,0,x\in \mathbb{R})\}$

Das heißt, bis auf Isometrie gibt es nur eine Gerade.

Beispiele

Spiegelung an einer Hyperebene

Eine Hyperebene

\newcommand{\R}{\mathbb R}