Beschreibung
Die Poincaré-Scheibe ist ein einfaches Modell, mit dem man die Hyperbolische Geometrie verstehen kann.
Definition
Die Poincare Scheibe ist einfach die Menge der Kreisscheibe mit einer speziellen Metrik.
Geodäten
Die Geodäten der Scheibe sind die Kreisbögen, die senkrecht auf stehen, das schließt die Gerade ein, die die Scheibe halbiert.
Spiegelung
Eine Spiegelung auf der Poincaré-Scheibe sieht aus wie eine Inversion. Mit diesem Wissen über Geodäten und Inversion können wir uns nun alle anderen Eigenschaften herleiten.
Eigenschaften
Entfernungen
Betrachte zwei Punkte auf der Scheibe. Seien zwei Kreisbögen, die durch jeweils und verlaufen und in den gleichen zwei Punkten schneiden.
Die beiden Kurven schneiden im gleichen Winkel . Man kann zeigen, dass der durch eine Längenerhaltende Inversion induzierte Abstand proportional zum Winkel . Hmm, weiter weiß ich leider nicht…
Metrik
Die Hyperbolische Geometrie entsteht durch die Definition der Metrik
Existenz eines Oktagons mit Innenwinkelsumme
In der Hyperbolische Geometrie existiert ein