Beschreibung
Die Isometrien der Hyperbolischen Geometrie lassen sich sehr leicht klassifizieren.
Klassifikation
Klassifikation orientierungserhaltender Isometrien
Interpretiert man die Hyperbolische Geometrie als die Hyperbolische Halbebene, so lassen sich die Isometrien ganz einfach als spezielle Möbiustransformation der Halbebene verstehen.
Das ergibt Sinn, da Möbiustransformation genau die bijektiven Transformationen der Ganzebene sind, die Kreise (d.h. Geodäten der Hyperbolischen Halbebene) erhalten.
Speziell besteht ein Isomorphismus zwischen der Projektive Spezielle Lineare Gruppe und den Orientierungserhaltenden Isometrien
\pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} &\mapsto \left(z \mapsto \frac{ax+b}{cz+d}\right)\end{align*}$$ ## Klassifikation aller Isometrien Jede Isometrie ist darstellbar durch ein Element aus $SL_2(\mathbb{R})$, da für die [[Möbiustransformation|normalisierten Möbiustransformationen]] gilt $ad-bc = \pm 1$. Wir wissen, dass jede Matrix der [[Spezielle Lineare Gruppe]] konjugiert zu speziellen Matrizen einer [[Jordannormalform]] ist. Das erlaubt uns jede Isometrie in drei Klassen zu klassifizieren: - [[Hyperbolische Möbiustransformation]]: $z \mapsto \lambda z$ - [[Parabolische Möbiustransformation]]: $z \mapsto z+1$ - [[Elliptische Möbiustransformation]]: $z \mapsto \frac{(\cos \theta)z + (\sin \theta)}{(-\sin \theta)z + (\cos \theta)}$ # Eigenschaften ## Eindeutig durch zwei Punkte festgelegt Hält eine orientierungserhaltende Isometrie von $\mathbb{H}^2$ zwei Punkte fix, so ist es die Identität. **Beweis:** Jede Isometrie, die zwei Punkte fixiert, fixiert auch die eindeutige Geodäte zwischen den beiden Punkten. Bis auf Präkomposition mit einer Isometrie können wir annehmen, das die Geodäte eine vertikale Gerade ist. Eine Isometrie, die diese fixiert lässt, ist entweder die Identität oder eine Spiegelung an der Gerade. ## Erhalten euklidische Geraden und Kreise Da die Isometrien Möbiustransformationen sind, erhalten sie euklidische Kreise und Geraden in $\mathbb{H}$. Insbesondere erhalten sie die Menge der [[Strahl|Halbgeraden]] und Halbkreisen, die senkrecht auf der reellen Achse stehen. (Dies sind genau die [[Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit)]] der Hyperbolischen Geometrie) [[lit_maretForcingRelationsPeriodic2018]] [[lit_seriesNoneuclideanGeometryContinued1982]]