Koch'sche Schneeflocke

Beschreibung

Eines der einfachsten Fraktale, um zu zeigen, dass stetige Kurven nicht rektifizierbar sein können.

Konstruktion

Definition

Baue Kurve $f_1:[0,1]\to \mathbb{R}$, sodass

• $f_0$ Gerade
• $f_i$ ist Geradesegment auf jedem Teilintervall $I=\text{eck}\frac{j}{q^i},\frac{j+1}{q^i}$ für alle $j\in \mathbb{N}$
• Um $f_{i+1}$ auf $f_i$ zu erhalten ersetzee in jede Teilintervall $I$ das Geradensegment $f{|}_I$ durch Verkettung $a\circ b\circ c\circ d$, wobei
  • $a$ Anfangssegment von $f_i{|}_I$ der Länge $\frac{1}{3}l(f_i{|}_I)$
  • $d$ Endsegment von ”-”
  • $b,c$ Seiten des gleichschenkligen Dreiecks mit Basis beim mittleren Drittel von $f_i{|}_I$

Eigenschaften

Der Grenzwert der Konstruktion oben hat folgende Eigenschaften:

Stetigkeit

Die Koch’sche Schneeflocke ist stetig, dass kann man mit dem $\delta$-$\epsilon$-Kriterium prüfen.

Nicht rektifizierbar

Die Länge der Flocke ist nicht rektifizierbar.

Beweis Stetigkeit und Nichtrektifizierbarkeit: Wir beobachten:

1. $f_{i+1}\text{klam}\frac{j}{4^i}=f_i\text{klam}\frac{j}{4^i}$ Alte Ecken bleiben Ecken
2. ${\sum }_{j=0}^{4^i-1}\Vert f_i\text{klam}\frac{j+1}{4^i}-f_i\text{klam}\frac{j}{4^i}\Vert =l(f_i)$
3. $l(f_i+1)=\frac{4}{3}l(f_i)$
4. $\Vert f_{i+1}(t)-f_i(t)\Vert \le \frac{1}{3^{i+1}}l(f_0)$ Besagt durch Majorisierung, dass die $f_i(t)$ Cauchyfolgen sind. Also existiert für jedes $t$ der Grenzwert ${\lim }_{i\to \infty }{f}_i(t)=f(t)$

Punkt 4) besagt sogar, dass $f_i(t)$ gleichmäßig konvergiert. (Die Geschwnidigkeit des Konvergierens hängt nicht von $t$ ab). Der Grenzwert eienr gleichmäßig konvergierenden Folge von Stetigen Funktionen ist wieder stetig. Zusammen mit b) gilt: $l(f)\ge l(f_i)=\text{klam}{\frac{4}{3}}^{i}l(f_0)\forall i$ $⟹l(f)=\infty$.

\newcommand{\R}{\mathbb R}