Eindeutigkeit einer Lösung

Beschreibung

Eine überraschende Tatsache der Differentialrechnung ist, dass Lösungen nicht notwendigerweise eindeutig sind.

Definition

Betrachte das Startwertproblem $\dot{x}=f(x),x(0)=x_0$.

Ist $f$ und $f^{\prime }$ stetig auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$, und $x_0\subseteq I$, dann gibt es ein Intervall $]-\tau ,\tau [$ um $t=0$, auf dem eine eindeutige Lösung existiert.

Beispiele

Nichtbeispiel

Betrachte die Differentialgleichung $\dot{x}=x^{1/3}$. Die Lösung, die bei $0$ beginnt, ist nicht eindeutig.

• $0$ ist ein Fixpunkt also ist $x(t)=0$ eine Lösung
• $x(t)=(\frac{2}{3}t{)}^{3/2}$ ist auch eine Lösung Man erhält sich durch Trennen der Variablen.

Der Grund hierfür ist, dass obere Gleichung in $0$ sehr instabil ist. $(x^{1/3}{)}^{\prime }(0)=\infty$.

lit_strogatzNonlinearDynamicsChaos2018