Hyperbolische Möbiustransformation

Beschreibung

Eine Hyperbolische Möbiustransformation ist eine Möbiustransformation mit einem speziellem Verhalten. Sie erhält ihren Namen dadurch, dass die entsprechende Matrix eine Hyperbel fix lässt.

Definition

Sei Möbiustransformation $M(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ Gilt $(a+d)$ ist reell und $(a+d{)}^2>\pm 2$, dann ist die Transformation hyperbolisch.

Charakterisierung durch Fixpunkte

Eine Normalisierte Möbiustransformation ist genau dann hyperbolisch, wenn sie zwei Fixpunkte hat. Die Transformation in einer infinitessimalen Umgebung der Fixpunkte gleicht einer Skalierung. Hierbei wirkt ein Fixpunkt abstoßend und ein anderer anziehend.

Charakterisierung durch Konjugation

Eine Matrix ist genau dann hyperbolisch, wenn sie in $SL(2,\mathbb{R})$ konjugiert zu $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& 1/\lambda \end{array}\right)$ mit $\lambda \ne 1$ ist.

lit_katokFuchsianGroups1992