Sphärische Wachstumsreihe

Beschreibung

Die Sphärische Wachstumsreiche ist eine Möglichkeit, das Gruppenwachstum (Gruppe) einer Gruppe als eine Potenzreihe zu charakterisieren. Dazu werden Generierende Funktionen genutzt.

Definition

Die Sphärische Wachstumsreihe ist definiert als $S(z)={\sum }_{r\ge 0}{\sigma }_r{z}^r$ wobei $o_r=S(0,r)$ das sphärische Gruppenwachstum (Gruppe) der Gruppe ist.

Eigenschaften

Wachstumsreihe von direkten Produkten

Für zwei Gruppen $G_1,G_2$ und ihre Wachstumsreihen $S_1,S_2$ errechnet sich die Wachstumsreihe des direkten Produkts folgendermaßen: $S(z)=S_1(z)S_2(z)$

Wachstumsreihe von Freien Produkten

Für zwei Gruppen $G_1,G_2$ und ihre Wachstumsreihen $S_1,S_2$ errechnet sich die Wachstumsreihe des freien Produkts folgendermaßen: $S(z)=\text{klam}{\sum }_{n=0}^{\infty }(S_1(z)S_2(z){)}^n+(S_1(z)S_2(z){)}^n+S_1(z)(S_1(z)S_2(z){)}^n+S_2(z)(S_1(z)S_2(z){)}^n-3$