Fundamentalbereich

Beschreibung

Ein Fundamentaler Bereich ist eine zusammenhängende Teilmenge eines Objekts, sodass keine Symmetrie mehr vorhanden ist.

Können diese Topologischen Eigneschaften nicht erhalten werden, ist ein Fundamentalbereich nicht definierbar.

Definition Fundamentaler Bereich von Graphen

Sei $G$ eine Gruppe, die ohne Inversion auf einem Graphen $X$ operiert. Ein Fundamentalbereich von $X$ mod $G$ ist ein Teilgraph $T$, sodass der Graphisomorphismus $T\cong G\backslash X$ gilt.

Fundamentalbereich Metrischer Raum

Sei $X$ ein Metrischer Raum und $G$ eine Eigentlich Diskontinuierliche Gruppenoperation. Sei $\mathring{F}\subseteq X$ eine Offene Menge und $F$ dessen Abschluss. $F$ heißt Fundamentalbereich von $G$, wenn

• ${\bigcup }_{T\in G}T\cdot F=X$
• $\mathring{F}\cup T\mathring{F}=\varnothing$ für alle $T\in G-Id$.

$\partial F=F-\mathring{F}$ wird als Rand von $F$ bezeichnet. Die Familie $\{TF:T\in G\}$ bildet eine Parkettierung.

Eigenschaften

Bedingungen für Existenz für Baum $X$ und Baum $G\backslash X$

Sei $G$ eine Gruppe, die ohne Inversion auf einem Baum $X$ operiert. Dann existiert ein fundamentaler Bereich $T$ genau dann, wenn $G\backslash X$ ein Baum ist.

Invariante für Fuchssche Grupp $\Gamma$ eine Fuchssche Gruppen, die auf der Hyperbolische Halbebene $H$ wirkt.

Dann haben zwei [[undamentayperbolischer Flächeninhalt]].