Farey-Komplex

Beschreibung

Das Farey-Kompley ist eine der Farey-Folge zugrundeliegende Struktur, die man aus dem Farey-Graph erhält.

Definition

Betrachte eine Kante zwischen zwei Tupel $a,c$ mit $a<c$ (Größe bestimmt sich durch Quotient) wobei $c\ne (0,1),(1,1)$. Wähle die Zahl $e$, die in der gleichen Folge auf $c$ folgt.

Es gibt eine Farey-Folge, sodass die Zahl $b$, die man durch Addition von Zähler und Nenner von $a,c$ erhält zwischen $a,c$ liegt. Es gibt also Kanten $a,b$ und $b,c$. Damit bilden die Kanten zwei Dreiecke $abc$ und $ace$, die sich die Kante $ac$ teilen. Für eine Kante zwischen zwei Tupeln kann man also mindestens zwei Dreiecke finden.

Tatsächlich gibt es auch maximal zwei Dreiecke. Um ein neues Dreieck zu bilden, muss es ein neues Element geben, das eine Kante zu $a$ und $c$ hat. In feineren Farey-Folgen als dem, dem $b$ zugehört, findet man so etwas nicht, denn wäre das Element kleiner als $b$, dann würde es nicht mehr an $c$ angrenzen und wäre es größer, dann würde es nicht an $a$ angrenzen.

Die Struktur, die man durch das Zusammenstückeln all dieser Dreiecke erhält nennt man Farey-Komplex.

Eigenschaften

Eckpunkte der Dreiecke

Da jedes Element unendlich viele Nachbarn hat, treffen auf allen Ecken unendlich viele Dreiecke zusammen.

Das ganze gibt mir die Idee: Man kann an den Eckpunkten rotieren, um auf dem Farey-Komplex zu operieren.

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