Auflösbare Gruppe

Beschreibung

Die Bildung von Kommutatorgruppen lässt sich iterieren. Man bezeichnet mit $G^{(2)}$ die Kommutatorgruppe von $G^{\prime }$.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn $G^{(n)}=\{e\}$ für ein $n\in {\mathbb{N}}_0$ gilt.

$G^{(n)}$ bezeichnet die Kommutatorgruppe

Charakterisierungen

Eine endliche Gruppe $G$ ist genau dann auflösbar, wenn sie eine Abelsche Normalreihe besitzt

Auflösbarkeit durch Normalteiler

Sind $G/N$ und $N$ auflösbar, genau dann ist auch $G$ auflösbar.

Eigenschaften

Auflösbarkeit von Untergruppen

Jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar.

Beispiel

Abelsche Gruppe

Offenbar sind abelsche Gruppen auflösbar, denn $[g,h]=e$

p-Gruppen

Jede P-Gruppe ist auflösbar..¹

Beweis: Eine $p$-Gruppe ist abelsch oder hat einen nicht-triviales Zentrum. Durch das Dividieren der Gruppe durch das Zentrum erhält man eine kleinere $p$-Gruppe

Übungen

Klausur 2018 Aufgabe 4

a)

$40=8\cdot 5$.

Bestimme die Anzahl ${\nu }_5$ von $5$-Sylowgruppen: Nach VL gilt ${\nu }_5{\equiv }_{5}1$ und ${\nu }_5\mid 8$, kann also nur ${\nu }_5=1$ sein. Die $5$-Sylowgruppe ist einzig also Normalteiler. Nenne die Gruppe $N$. $N$ ist zyklisch also abelsch, also auflösbar.

Damit existiert die Faktorgruppe $G/N$ und hat die Ordnung $40/5=8$. Diese Faktorgruppe ist eine p-Gruppe und damit auflösbar.

Ist die Faktorgruppe und der Normalteiler auflösbar, dann auch $G$.

b)

$C_2\times C_{20}$ ist abelsch aber nicht zyklisch. Wäre es der Fall, dann müsste es $40$ Elemente und ein Element der Ordnung $40$ haben. Die Elemente in $C_2\times C_{20}$ haben die Form $(a,b)$ und es gilt $20\cdot (a,b)=(20a,20b)=(0,0)$. Die Elemente von $C_2\times C_{20}$ haben also maximal Ordnung 20.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 9.17 ↩