Korrespondenzsatz für Gruppen

Definition

Sei $G$ eine Gruppe, $N$ ein Normalteiler, $\bar{G}=G/N$ und ${\pi }_N:G\to \bar{G}$ der kanonische Epimorphismus. Ferner sei $\bar{\mathcal{G}}$ die Menge der Untergruppen von $\overline{G}$ und ${\mathcal{G}}_N$ die Menge der Untergruppen $U$ von $G$ mit $U\supseteq N$. Dann sind die beiden Abbildungen ${\mathcal{G}}_N\to \bar{\mathcal{G}},U\mapsto {\pi }_N(U)$ und $\bar{\mathcal{G}}\to {\mathcal{G}}_N,\bar{U}\mapsto {\pi }_N^{-1}(\bar{U})$ bijektiv und zueinander invers. Außerdem gilt:

1. Für $U,V\in {\mathcal{G}}_N$ gilt $U\subseteq N$ genau dann, wenn ${\pi }_N(U)\subseteq {\pi }_N(V)$ erfüllt ist
2. Genau dann ist $U\in {\mathcal{G}}_N$ Normalteiler von $G$, wenn ${\pi }_N(U)$ ein Normalteiler von $\bar{G}$ ist.
3. Ist $U\in {\mathcal{G}}_N$ von endlichem Index in $G$ und $\bar{U}={\pi }_N(U)$, dann gilt $(G:U)=(\bar{G}:\bar{U})$