Stabile Lösung

Beschreibung

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist stabil wenn kleine Änderungen des Startwert keine großen Änderungen der Lösung zu Folge haben.

Definition

Sei $\mu :]a,\infty [\to {\mathbb{K}}^d$ eine Lösung der DGL $x^{\prime }=f(t,x)$

$\mu$ ist stabil, wenn es für alle $\epsilon >0$ und und für alle $\tau >a\in \mathbb{R}$ ein $\delta (\epsilon ,\tau )>0$ gibt, mit: Zu jedem Anfangswert $(\tau ,\xi )$ mit $||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||<\delta$ existiert die maximale Lösung ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)$ und erfüllt das Startwertproblem: $x^{\prime }=f(t,x),x(\tau )=\xi$für alle $t\ge \tau$ und erfüllt die Abschätzung: $\underset{t\ge \tau }{\sup }||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||<ϵ$