Trajektorie

Beschreibung

Die Menge aller Punkte, die von einer Lösung einer Differentialgleichung durchlaufen wird, nennt man Trajektorie (auch Phasenkurve, Lösungskurve oder Integralkurve)

Wandelt man die Autonome DGL eines Ballwurfs in ein Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung um, so ist die Trajektorie die Menge aller durchlaufenen Zustände, die während einer Physiksimulation mit fortschreitender Zeit auftaucht. D.h. eine Kurve im Phasenraum.

Die Trajektorie ist ein Spezialfall einer Lösungskurve, jedoch ohne Zeit.

Definition¹

Sei $D\subseteq {\mathbb{K}}^d$ ein offener und zusammenhängeder Raum von Zuständen und $v:D\to {\mathbb{K}}^d$ die lokal lipschitzstetige rechte Seite der DGL

Eine Teilmenge $T\subset D$ heißt Trajektorie von $x^{\prime }=v(x)$, wenn $T(\xi )=\phi (J_{\xi },\{\xi \})$

Positive Halbtrajektorie

DIe Trajektorie zu positiven Zeiten. $T^{+}(\xi )=\{\phi (t,\xi )\in D:t\in J_{\xi },t\ge 0\}$

Negative Halbtrajektorie

DIe Trajektorie zu negativen Zeiten. $T^{-}(\xi )=\{\phi (t,\xi )\in D:t\in J_{\xi },t\le 0\}$

Invarianz

Eine Menge von Zuständen heißt Invariant, wenn alle Trajektorien der in der Menge enthaltenen Startzustände vollständig in der Menge liegen.

$M\subseteq D$ heißt invariant (bzgl. $\phi$), wenn mit jedem $\xi \in M$ auch die Trajektorie $T(\xi )=\{\phi (t,\xi ):t\in J_{\xi }\}\subseteq M$ ist

Eine Menge von Zuständen heißt positiv invariant, wenn alle Trajektorien der in der Menge enthaltenen Startzustände vollständig in der Menge liegen.

$M\subseteq D$ heißt positiv invariant (bzgl. $\phi$), wenn mit jedem $\xi \in M$ auch die Trajektorie $T(\xi )=\{\phi (t,\xi ):t\in J_{\xi },t\ge 0\}\subseteq M$ ist

Eigenschaften

Zusammenhangsbedingung der Trajektorie

Die Lösungskurve ist als Graph einer stetigen Funktion zusammenhängend

Zusammenhang mit Einparametrigen Gruppen

Bei Phase wurde erklärt, wie eine Phase das gleiche ist wie eine Anwendung einer Transformation $g^t$ aus einer Einparametrigen Gruppe auf einen Startwert $\xi$.

Somit ist die Punktemenge, die durch Anwednung aller Transformationen aus $g^t$ entsteht genau die Trajektorie des Flusses

y lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992

Footnotes

1. Zenk: Definition 20.1.9 ↩