Fluss

Beschreibung

In Physiksimulationen ist die Lösung nur von initialen Anfangsbedingungen abhängig, nicht aber von der Zeit. Die Funktion, die als Eingabe eine Anfangsbedingung und eine Zeit nimmt, einen Zustand ausgibt und eine Autonome Differentialgleichung löst, nennt man Fluss oder Phasenfluss.

Ein Fluss unterscheidet sich dahingehend von einer Lösung, dass eine Lösung nur für eine beliebige Anfangsbedingung gegeben sein kann.

Definitionen

Zenk

Sei $D\subseteq {\mathbb{K}}^d$ ein offener und zusammenhängender Raum von Zuständen und $v:D\to {\mathbb{K}}^d$ die lokal lipschitzstetige rechte Seite der DGL

Der Fluss des autonomen Systems $x^{\prime }=v(x)$ ist $\phi :\begin{array}{rcl}{J}_{\xi }\times D& \to & {\mathbb{K}}^d\\ (t,x)& \mapsto & {\lambda }_{(0,\xi )}(t)\end{array}$

Eigenschaften

Zusammenhang mit Einparametrigen Gruppen

Ein Phasenfluss kann als Einparametrige Gruppe von stetigen Transformationen verstanden werden, denn sie erfüllt alle dafür nötigen Eigenschaften:

• $\phi (t+s,\cdot )$ ist äquivalent dazu, zu beobachten, was mit einem Anfangspunkt nach $t$ Zeiteinheiten passiert, dann stehen zu bleiben, den Punkt an dem man stehen geblieben ist als neuen Startpunkt zu wählen und dann um $s$ Zeiteinheiten weitersimulieren.
• $\phi (-t,\cdot )$ ist äquivalent dazu, einen Punkt $\xi$, der nach $t$ Zeiteinheiten den neuen Zustand ${\xi }^{\prime }$ erreicht, an seinen Anfang zurück zu senden. (Inverse)

$\phi (0,\cdot )$ beschreibt dabei die Null-Transformation, also die Identitätstranformation.

lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992 lit_strogatzNonlinearDynamicsChaos2018