Explizite Differentialgleichung

Beschreibung

Eine Gewöhnliche Differentialgleichung heißt n-dimensionale explizite Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn auf der linken Seite die $k$-te Ableitung von $x$ steht Gleichung null sind.

Definition

Seien

• $k,n\in N$ $k$ ist die höchste Ableitung der Gleichung $n$ ist die Dimension von der Lösung
• $U\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^{kn}$ ein Gebiet $U$ ist der Defintionsbereich der Gleichung $f$
• $f:U\to {\mathbb{K}}^n$

Eine Gleichung x^k = f(t, x, x', ..., x^{(k-1)})\tag{1} bzw. $\begin{array}{cc}& x_1^{(k)}=f_1(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\\ & x_2^{(k)}=f_2(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\\ & ⋮\\ & x_n^{(k)}=f_n(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\end{array}$

heißt n-dimensionale implizite Differentialgleichung k-ter Ordnung.

Definition Lösung

Siehe Lösung

Lösung

Seien

• $k,n\in N$ $k$ ist die höchste Ableitung der Gleichung $n$ ist die Dimension von der Lösung
• $U\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^{kn}$ ein Gebiet $U$ ist der Defintionsbereich der Gleichung $f$
• $f:U\to {\mathbb{K}}^n$

Eine n-Dimensionales Lineares Homogenes Differentialgleichungssystem k-ter Ordnung x^{(k)} = f(t, x, x', ..., x^{(k-1)}) \tag{1} kann in eine $nk$-dimensionales Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung umgewandelt werden:

Betrachte jede Ableitung von $x$ als eine eigene Variable: $\begin{array}{c}{y}_1=x\\ y_2=x^{\prime }\\ ⋮\\ y_k=x^{(k-1)}\end{array}$ Dann gilt\begin{array}{c} y_1' = x' = y_2\\ y_2' = y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1}' = y_{k} \\ y_k' = f(t, y_1, ..., y_k) \end{array}\tag{2}

Ist $\mu =\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ ⋮\\ {\mu }_k\end{array}\right)$ eine Lösung von $(2)$, dann ist ${\mu }_1=x$ eine Lösung von $(1)$¹

Existenzintervall

Das $I$ oben nennt man das Lösungs- oder Existenzintervall von $\lambda$ und $(2)$ die Lösungsidentität

Footnotes

1. Satz 18.1.1 ↩