Biholomorphe Funktion

Definition

$f$ ist biholomorph, wenn $f$ bijektiv und holomorph und $f^{-1}$ holomorph ist.¹

Menge biliholomorpher Funktionen

$Aut(\hat{\mathbb{C}})$ ist die Menge aller biholomorpher Funktionen.²

Äquivalente Charakterisierungen

Charakterisierung I

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ $f:U\subseteq \mathbb{C}$ ist genau dann biholomorph, wenn $f$ bijektiv und holomorph³

Charaktierisierung

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ konvex
• $f:U\to \mathbb{C}$ holomorph
• $g:U\to f(U),z\mapsto f(z)$

Ist $(R{e}^{\prime }(f^{\prime }(\xi )))>0$ für alle $\xi \in U$, dann ist $g$ biholomorph Ist $(I{m}^{\prime }(f^{\prime }(\xi )))>0$ für alle $\xi \in U$, dann ist $g$ biholomorph

Beispiele

Beispiel I

$f:\{z\in \mathbb{C}:Re(z)>0\}\to \mathbb{C}\backslash ]-\infty ,0],z\mapsto z^2$ ist biholomorph.

Footnotes

1. Zenk - Definition 25.1.3 ↩

2. Zenk - Satz 24.4.2 ↩

3. Zenk - Satz 25.1.4 ↩