Identitätssatz

Beschreibung

Dank des Identitätssatzes reicht schon die Gleichheit zweier analytischer Funktionen auf einem start eingeschränkten Bereich, um die Gleichheit auf größeren Definitionsbereichen zu zeigen.

Definition

Komplexe Zahlen Zenk

Seien $f:U\to \mathbb{C}$ und $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch. Dann sind äquivalent:

• $f=g$
• Die Menge $\{z\in U:f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt, der in $U$ liegt.
• Es gibt einen Punkt $\xi \in U$, sodass $f^{(n)}(\xi )=g^{(n)}(\xi )$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt D.h. die Ableitung ist beider Funktionen ist gleich¹

Komplexes Kurvenstück

Sei $s$ ein winziges Kurvenstück, auf dem die Analytische Funktion $f$ 0 ist.

Normalerweise stellt man sich die lokale Transformation an einem Kritischer Punkt (Differentialgleichung) ($f(p)=0$) so vor, dass eine winzige Umgebung um $p$ nicht wirklich zu 0 zusammengezogen wird, sondern nur auf eine sehr viel winzigere Umgebung, sodass es aussieht, als wäre das Bild ein Punkt.

Da die Umgebung von $p$ nicht wirklich verschwindet sondern sehr stark zusammengezogen wird, sollte man den kritischen Punkt $p$ durch eine endliche Anzahl von Ableitungen entfernen können. (Die obere Erklärung ist stark vereinfacht.)

Betrachtet man aber wieder das Kurvenstück und einen darauf liegenden Punkt $p$, so sieht man, dass $f(z)$ entlang des Kurvenstückes 0 bleibt. Das Kurvenstück wird diesmal also wirklich auf einen Punkt zusammengezogen! Da analytische Funktionen aber lokal Drehstreckungen sind, müssen alle Punkte um $p$ zu einem Punkt zusammengezogen werden. Damit ist $f$ lokal konstant 0 und alle ihre Ableitungen sind 0. Es kann damit in der Funktion $f$ keine Veränderung stattfinden! $f$ ist damit konstant 0. (Needham hat eine präzisere Erklärung genannt: Aus der Tatsache, dass alle Ableitungen 0 sind, muss $f$ in einem schlauchförmigen Gebiet um $s$ konstant 0 sein. Dann wäre $f$ aber auch wg. Stetigkeit am Rand des Schlauches 0. Die obere Argumentation lässt sich dann fortsetzen.)

Seien $f$ und $g$ zwei Funktionen, für die auf einem Kurvenabschnitt $s$ gilt $f(z)=g(z)$. Dann ist $f-g$ auch eine analytische Funktion mit $(f-g)(z)=0$ auf $s$. D.h.: $(f-g)=0$ für alle $z$ und somit $f=g$.

Eine ähnliche Argumentation müsste man auch mit dem Häufungspunkt machen können: Dass alle Ableitung im Häufungspunkt $p$ 0 sein müssen, da in jeder Umgebung von $p$ ein anderer Punkt mit $f(z)=0$ existert, kann die lokale lineare Abbildung die Umgebung nicht einfach stark komprimieren, sondern muss die Umgebung auf einen Punkt reduzieren.

Riemannsche Flächen

Seien

• $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen
• $f:X\to Y$ und $f:X\to Y$ Holomorphe Funktionen. Dann sind äquivalent:
• $f=g$
• Die Menge $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ hat einen Häufungspunkt, der in $U$ liegt.²

Isoliertheit der Nullstellen

Diese Eigenschaft ist ein Spezialfall des Identitätssatzes. Sei $f:U\to \mathbb{C}$ mit $f\ne 0$ analytisch.

Dann gibt es für jeden Punkt $a\in U$ einen Radius $r$, sodass für alle Werte $z\in K(a,r)\backslash \{a\}$ gilt $f(z)\ne 0$ D.h. Die Nullstellen liegen nicht dicht

Gleichheit auf offenen Mengen

• Sind $f$ und $g$ of einer nichtleeren offenen Einschränkung gleich, dann gilt $f=g$¹

Footnotes

1. Zenk - Satz 21.2.3 ↩ ↩²

2. Zenk - Satz 24.3.7 ↩