Banachscher Fixpunktsatz

Beschreibung

Der Banachsche Fixpunktsatz gibt Bedingungen an, unter denen spezielle Funktionen einen Fixpunkt besitzen.

Definition

Sei $M$ eine nichtleere abgeschlossene Menge $M\subseteq X$ und $\phi :M\to M$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $k\in [0,1[$.

Das heißt es gilt $d(\phi (x),\phi (y))\le k\cdot d(x,y)$ für alle $x,y\in M$.

Dann konvergiert die iterativ definierte Folge $x_{n+1}:\phi (x_n)$ für einen beliebigen Startwert $x_0\in M$ gegen einen eindeutigen Fixpunkt $\tilde{x}$.

Q: Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes A: $M$ abgeschlossene Menge, $\phi :M\to M$ Kontraktion.

Eigenschaften